不定积分 原函数 变上限积分 有什么区别和联系?

我尽量用大白话讲：

一：不定积分、原函数、导函数

1.1 不定积分的例子

不定积分 是形如 ∫ dx 的，没有上下限的，一个 式子 或者说是这个 式子的运算 ，比如说式(1)：

\int_{}^{}2xdx=x^{2}+C\\

说明1：上下限，是定积分中的概念，之后会写，不定积分用不到。

说明2：式(1)的 C 指任一常数。所以，不定积分的运算，是把一个函数映射到另外一个函数族，上述例子里就是 f(x)=2x 映射到 F(x)=x^2+C 。

说明3：式(1)等号“ 左边”的式子 是一个不定积分，这个 运算 经常被称为 ：y=2x的不定积分（对y=2x做不定积分）。没有疑义的情况下，在不严格的口头交流中，“y=”、“不定”可以省略，直接叫“2X的积分”。

1.2 不定积分与导函数，原函数之间的关系

关系1：不定积分是微分（求导函数）的逆运算， 也就是说式(1)中：

a: f(x)=2x ，做不定积分，得到： F(x)=x^2+C 。

b: F(x)=x^2+C , 做求导，得到： f(x)=2x ；

f(x) 就是 F(x) 的导函数 F'(x) 。

有了这个知识之后，我们再补充一个说明：

说明4: 积分中的 dx 叫作微元 ， x 就是你认为的那个 x ，但它也可以是 x 的其它函数（ x 本身也是自己的函数），结果会不一样。那么我们要看 dF(x) 和 dx 的联系，等式为： dF(x)=f(x)dx ，其中 f(x)=F'(x) ，并且， f(x)dx 的 f(x) 与 dx 中间就是个乘法。自然地，等式 dF(x)=f(x)dx 两边同除以 dx ，就得到高中时期导函数常用的一撇记号： f(x)=F'(x)=dF(x)/dx 。 重新看原来的等式 dF(x)=f(x)dx ，从右到左，就是说如果想把导函数 f(x) 挪到d后面，就是个不定积分操作，变成 F(x) ，然后挪到 d 后面。 （注意，这里涉及导数，所以没有 C ）。刚说了 x 本身也是自己的函数，拿这个过于平凡的例子看一下：先抄一下等式 dF(x)=f(x)dx ，然后令 F(x)=x ，那么， f(x)=F'(x)=x'=1 ,把 F(x)=x , f(x)=1 代入等式 dF(x)=f(x)dx ，就有 dx=1·dx ，完美。

关系2：原函数 是相对于一个 导函数 的定义，比如说上面关系1中， f(x)=2x ，它的不定积分结果是 F(x)=x^2+C ，取任一的 C ，就是 f(x)=2x 的一个原函数。

二：变上限积分与定积分

变上限积分 是相对于 定积分 来说的，所以先了解一下 定积分。

2.1定积分的例子

与不定积分类似地，定积分也可以说是等号左边的式子，或这个式子的运算。但其结果总 是一个“ 数字！！”，而不像不定积分的结果是一个函数族。 比如说式(2)：

\int_{1}^{2}x^2dx=\frac{7}{3}\\

写在积分号下面的数字叫 下限（积分下限） ，写在积分号上面的数字叫 上限（积分上限） 。

口头交流中，定积分与不定积分一样，也是用一样的缩略法，直接叫“….的积分”。所以如何区分我们说的是定积分还是不定积分：定积分你反正口头交流，要补充它上下限是多少，自然就区分了。

2.2 定积分的几何与粗糙的大白话定义

2.2.1 定积分的几何

定积分 几何上来说是 曲边梯形的面积。

即式(2)（注意是式(2)，别看成不定积分那的式(1)）：

f(x)=x^2 这条曲线，与 横轴 y=0 ， x=1 （下限）， x=2 （上限），四条边围成的曲边梯形的 面积。

请始终记住，曲的那条边是函数那条边，就是最上面那条边，而左边和右边和底边三条是直线。

注：定积分的结果虽然表示面积，但可以为负数 ，比如式(2)中 x^2 换成 -x^2 ，结果就为 -7/3 。或者交换上下限，结果也是 -7/3 。

2.2.2 定积分粗糙定义（大白话）

定义：我们拿式(2) 定积分来粗糙定义 ： f(x)=x^2 这个函数，它这个表达其实是 y 值，说白了就是高度，高 x^2 乘以底 x 的区间（区间就是上限减下限），那就是面积（定积分）。当然这是长方形的计算方法，而弯弯曲曲的函数是弯曲的，我们不能这么粗犷地乘一下。这时候，我们把 x 的定义域（上下限，就是 1 到 2 ）切成一段一段，切的很小很小，这些一段段的叫做 dx ，这样，我们随便拿一个 dx ，以它为底，垂直画上去跟函数封闭成一个很窄的曲边梯形，这个面积就近似矩形了，把 dx 切得足够小，面积就会足够精确。这个时候算面积（定积分）就可以用长乘以宽了，即可以写作 x^{2}dx 。别忘了这只是其中一段 dx ，所以，要把所有的 dx 对应的曲边梯形面积都加一起，表达式写成 \int_{1}^{2}x^2dx 。

2.2.3 定积分与不定积分的关系

上面可以看出，除了长得差不多，整体上来说， 定积分这样的定义，与不定积分（定义是求导的逆运算）毫无关系，事实上，它俩的起源本就无关 。敏感的同学可能就能发现，如果它俩无关，定积分还如何计算呢？这就要引出 牛顿莱布尼茨公式。

牛顿莱布尼茨公式 ：这里不加严格证明。只需要知道，牛顿莱布尼茨公式：定积分和不定积分计算一模一样，只是定积分最后要把上下限代入。如不定积分的算得答案为 g(x)+C ，那么，定积分答案就是 g(上限)-g(下限) 。这样，定积分的结果就可以用不定积分来求出了。

介绍完了定积分，接下去是 变上限积分

2.3 从定积分衍生出变上限积分

在定积分的面积的绘景中，把积分上限 2 换成 t 。 这样 t 就可以变化，曲边梯形的右侧边就是随着t的变化可以平动。 大白话： 曲边梯形的面积原本是定积分本来是个确定的数字，现在上限改成 t 了，右侧边缘可以随着t的平动，从而改变这个面积。现在，面积（变上限积分）可以随着 t 改变，所以说变上限积分是 t 的(一个)函数。

注意1： 把变上限积分看作函数，其自变量是上限 t ，而不是 x 。如：

g(t)=\int_{2}^{t} x^2dx

之所以用 g 做记号， 是因为积分号里面的 x^2 ，如果不是这样具体的例子，那可能写着 f(x) 。所以要区分一下，即：

g(t)=\int_{2}^{t} f(x)dx =F(t)-F(2)

所以，上式 g 的位置不好用 f,F 来写 。当然微积分的题目用了什么记号，你就写什么记号，如果题目没有写记号，那你看什么方便且不容易混淆用什么，如果仅需要一个结果，直接写 y=...... 也没事。主要是别把自变量别把 x 和 t 搞混了。

注意2： 变上限积分是定积分里出来的，所以两者都没有任意常数 C ，前者是确定的数字，后者是函数（非函数族）。

上面为了保障叙事畅通，省略了一些补充，不代表不重要

对2.2.2 定积分粗糙定义的补充 ：严格上，我们需要知道 黎曼可积条件、Darboux和、上积分是否等于下积分等 ，才可以定义出定积分及其成立条件。再 由此才可以严格得到瑕积分（广义积分） 。 幂级数 也可以定义积分。这些如果有兴趣，可翻阅数学分析教材查找上述概念，如陈纪修《数学分析》。以上是一般古典微积分中都会讲的，也应是每一个想认真学微积分的人应学的。更深层次地，当定义域长得乱七八糟，以至于无法良好地去切 dx ，间断点无穷多，或者函数连续性很糟糕，长得很有特点。我们会发现，上述古典内容严格归严格，但也只能在自己前提限定条件下的一亩三分地，无法定义更一般的情况。那就需要用到测度的知识，测度一般不纳入数学分析范畴。只有少数高观点数学分析，如于品《数学分析》，才会或多（σ-alg.）或少(Lebesgue)以 测度 为切入点，去向下讲普通微积分。要么就是专门讲测度的教材，不过，专门讲测度的，它就不向下去讲普通微积分了。

数学分析中其他积分与定积分的联系（个人见解）

1. 定积分的概念可以直接推广到 重积分 ，像二重积分，就是曲顶柱的体积之和。
2. 第一型积分 是积分的直接应用，除了物理意义，其实直接微元，（个人认为）不需要新概念。
3. 第二型积分 是有些新东西，实际上我们在谈论的是流形，这上面要定义曲面定向等。

暗戳戳说一句：先不管上下限，定积分的定义对应于 \int f(x) dx 长相，是很对应的， Σ (高 f(x) *底 dx )的意思。但是不定积分，却也用这个形式，比如 f(x) 为什么要与 dx 相乘，似乎没有多少理由，我也没考究过，感觉是牛顿莱布尼兹公式提出之后，不定积分才采用了统一的符号？