1732年尤拉(Euler)提出F
5
不是質數
，
F
5
=
4294967297=
641×6700417
。
猜想
「
k＞4時，
$2^{2^k}$+1
都不是質數
」
。目前已經證明
F
5
~F
32
都是合數。
「
如果n是2
k
或相異費瑪質數的乘積，則
n邊形可以尺規作圖。」
n = 3、4、 5 、6 、8、 10 、12 、15、16、17、 20 、24、 30、 32、34、
40、48、51、 60、64 、68、80、85、96、... ，則可以尺規作圖n邊形。
n
=
7
、
9
、
11
、
13
、
14
、
18
、
19
、
21
、
22
、
23
、
25
、
26
、
27
、
28
、
29
、
31
、
33
、
35
、
36
..
.
，
則不能尺規作圖n邊形。
尺規作圖正三邊形和正六邊形
取適當長r為半徑畫圓，在圓周上任取一點
，
以此點為圓心
，
r為半徑作
弧，同法再連取二個等弧，連接交點，可得正三邊形。
如果取三個等弧的中點，可以連成正六邊形。
尺規作圖正四邊形和正八邊形
取適當長為半徑畫圓，畫二條互相垂直的直徑，連接交點，可得正四邊形。
如果取四個等弧的中點，可以連成正八邊形。
尺規作圖正五邊形
假設圓的半徑
r，圓內接正五邊形的邊長 a，則 a
2
=r
2
+r
2
-2×
r
×
r
×cos72°=2r
2
(1-$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$)=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$
r
2
，
得
a=
$\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}$
r。
證明：
CP
= r，取
CD
=$\frac{1}{2}$r，因此
PD
=$\frac{\sqrt{5}}{2}$r。
因為
DE
=
PD
且
CE
=
DE
-
CD
=$\frac{\sqrt{5}}{2}$r-$\frac{1}{2}$r=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$r，
所以 PE=$\sqrt{(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2+1^2}$r
$\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}$
r
