) 這幾個變量來完成的，雖然直觀上來說，這不是很困難，但當大多數同學第一次在物理課堂上，接觸到這個主題時，相信很多人都因為它而卻步了，因為眼前的這些數學方程式，讓明明不是很困難的觀念，變得複雜與抽象！ (如果你稍後有了想翻頁跳過本文的念頭，或許就是最好的證明了！) 當物體在運動時，最明顯的就是它的位置會發生改變，精確來說是「隨時間而變」。因此，描述物體運動的快慢程度，也就是速度的定義，是以位置的變化量 (∆x，末位置減去初位置，稱為 ) 除以時間間隔 (∆t) ： 附帶一提，在日常生活中，我們並沒有去區分「位移」與「距離」，或是「速度」與「速率」這些用語之間的差異，所以常常會聽到「速度等於距離除以時間」或是「距離等於速度乘以時間」等說法。然而，對於開始接觸高中物理的同學，要細分這些名詞的差別，以及它們的正負數值在「向量」上有著代表方向的意義，例如左右方，或東西方。 然而，當物體運動的速度「愈來愈快」或「愈來愈慢」時，位移就不再只是速度乘以時間這麼簡單而直接了。 早在四百多年前，伽利略以數學式的方式，寫下我們如今熟悉的「加速度」的定義： 讀者或許還記得我們曾經建議「看到定義時不要先問為什麼」，然而這並不表示「定義是沒有為什麼的」。相反的，物理學家之所以會下某個定義，往往是因為有了這個定義之後，可以得出一些有意義的結果。 以加速度的定義為例，在正式學習微積分之前，雖然「忽快忽慢」的問題還是無法處理，但是對於「穩定地」加速或減速的運動，也就是「等加速度運動」的情形，我們倒是可以透過代數運算，推理出一些很有意思的結果。 雖然我們費了一番功夫才得出公式 4，但是整個計算過程都符合嚴謹的邏輯推理，因此，在等加速度運動的條件下，公式4讓我們可以在「不知道時間」的情況下，單單憑藉著初速、加速度與運動距離，就可以得出末速度。以我們剛剛的網球問題為例，從胸口掉落的網球 (v = 0) ，在著地前那一瞬間的速度為： 回到科學史的現場，有著深厚數學功底的伽利略，把實驗結果與數學模型完美地結合起來，從單擺的等時性，以及斜面實驗，不僅看出等速度運動與加速度運動的不同，更明確地以數學的語言來描述：等速度得運動距離與時間成正比，等加速度得運動距離與時間的平成成正比。從而提出慣性定律，並為日後的牛頓力學奠下基礎，而贏得「近代物理學之父」的美譽。簡單來說，如今，我們在運動學的課堂上，不過是重複伽利略所有過思維歷程而已。 至於牛頓，除了提出三大運動定律之外，更把「時間間隔」從 ∆t (一段時間) 縮小到趨近於零的 dt (一瞬間)，嚴謹地思考平均速度、平均加速度與瞬時速度、瞬時加速度之間的差異，寫下《自然哲學的數學原理》，有別於德國的哲學家、數學家萊布尼茲，從運動學的角度，獨立發展出微積分。這也是一個物理與數學之間，難分難解的公案。 在電路學中，類似的例子是克希何夫定則，根據電荷守恆 (結點定則) 與能量守恆 (迴路定則) 兩大原理，只需逐步列出聯立方程組，透過數學運算，就能省去電流、電壓等複雜的邏輯推理，而解決實際的電路問題。 電磁學中的馬克士威方程式，更是一個著名的例子。馬克士威於1864年發表《電磁場的動力學理論》，提出電場和磁場以波的形式以光速在空間中傳播，從而推論出光是電磁波的一種。稍後於1886年到1888年期間，德國物理學家赫茲在實驗室中驗證他的理論，從而開啟了無線電的時代。在馬克士威的百歲紀念誕辰上，愛因斯坦讚譽他對物理學做出了「繼牛頓時代以來，最深刻、最富成效的」成果，然而，這位把電、磁與光統一起來的偉大物理學家，當年在被訪問到自己是如何得出這些靈感時，他卻謙虛地表示：我只是把法拉第的工作「數學化」而已；而他口中的法拉第的工作，就是我們所熟知的電力線、磁力線的圖形 (如圖七)。 物理與數學，理論與實驗，孰重孰輕，孰先孰後，往往無法以一刀兩斷的方式來區分清楚。從學習物理的角度而言，動手做實驗的經驗與體驗，當然非常重要，然而透過數學式來表達物理觀念，以及相關推理的能力，也是不能偏廢的能力與素養。 學校的物理課程裡，曾經存在過許多艱深的數學問題，在考試領導教學的影響下，動手做實驗的機會逐漸被忽略，演變成只專注於反覆演練試題的填鴨式教學，這樣的教學模式當然叫人詬病。然而，從另一個角度來說，如果只強調「動手做實驗」而輕忽了「動腦思考實驗」，或是把物理觀念等同於「文字說明」，而對「物理公式」避之如蛇蠍，也是過猶不及的作法。 紐西蘭的物理試卷評分有三個等級，同學若要想拿到卓越 (E) 的滿級分，通常需要以文字，配合繪圖或相關的物理定義、定律、定理或原理等，針對問題情境中的物理觀念提出完整的解釋 (請參閱前文： 沒有「一百分」的考試 )。至於學生無法拿到滿分的原因，可能是只會計算，但文字的觀念解釋卻偏弱，或是「落落長」的寫了一大篇文字說明，卻少了一個可以「畫龍點睛」的方程式。因此，每當需要在課堂講解試題時，我的結語笑話都是：在送女朋友巧克力 (禮物) 時，還得附上卡片，才能完整表達心意！