【国际数学】韦达定理(Vieta's Theorem)的高次推广

在初三的时候，同学们在一元二次方程的单元中就学习过了一元二次方程的韦达定理。

韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。

韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。

一元二次方程的根的判别式为 \Delta=b^2-4ac （a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。

根的判别式是判定方程是否有实根的充分必要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。需要注意对是， 无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。 判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。

利用韦达定理可以快速求出两方程根的关系，韦达定理应用广泛，在初等数学、解析几何、平面几何、方程论中均有体现。

设一元二次方程 ax^{2}+bx+c=0 （a\ne0） 的两根 x_{1}，x_{2} 有以下关系：

x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}

x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}

在解决很多函数应用题时，用韦达定理是一种很高效快捷的手段，可是最基础的韦达定理只能被使用在二次函数之上。这时候，我们就需要韦达定理在高次方程中的推广，就可以说明一元n次方程根与系数的关系。

我们知道对于任意一个高次方程 f(x)=a_0x^n+a_{1}x^{n-1}+ a_{2}x^{n-2}+... ，我们都可以把它表示为

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)...(x-x_n)

其中 x_1,x_2,x_3...x_n 是f(x)的全部n个根。

通过展开并且与原方程比较的方法，我们可以很轻松的证明出韦达定理，在此不多赘述。在此仅以三次方程举例：

对于有三个根 x_{1}，x_{2}，x_{3} 的一元三次方程 ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\left( a\ne0 \right) ，我们可以得到 a\left( x-x_{1} \right)\left( x-x_{2} \right)\left( x-x_{3} \right) =0 ,

再展开得

ax^{3}-\left( x_{1}+x_{2}+x_{3} \right)x^{2}+a\left( x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3} \right)x-ax_{1}x_{2}x_{3}=0

与原方程比较对应系数即可得到一元三次方程的韦达定理：

x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{b}{a} ,

x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\frac{c}{a} ,

x_{1}x_{2}x_{3}=-\frac{d}{a}

有了二次方程和三次方程的韦达定理，我们就可以用一样的思路得到一元n次方程的韦达定理的推广通式：

\sum_{}^{}{x_{i}}=\left( -1\right)^{1}\frac{a_{1}}{a_{0}}

\sum_{}^{}{x_{i}x_{j}}=\left( -1\right)^{2}\frac{a_{2}}{a_{0}}

\sum_{}^{}{x_{i}x_{j}x_{k}}=\left( -1\right)^{3}\frac{a_{3}}{a_{0}}

.......

\prod_{}^{}x_{i}=\left( -1 \right)^n\frac{a_n}{a_0}

其中我们常用的是第一个和最后一个。

该推广形式的证明一般无法根据求根公式进行，因为5次以上的一元方程没有求根公式。这个方法具有普遍性，即使是有求根公式的方程，亦可以通过该方法证明韦达定理，而无需借助求根公式。

同时，韦达定理也有逆定理，通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程，在竞赛题目中也时常出现。

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作者：Y2A 郝建宇Simon