【数学建模算法】（5）整数规划应用实例：生产与销售计划问题

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0.211 2019-08-07 22:59 IP属地: 黑龙江

之前的几篇番外，我们介绍了运筹学软件Lingo的用法，之后对于规划问题的处理，如无特殊说明，均视为采用Lingo求解。

例1 生产与销售问题
某公司用两种原油（ A 和 B ）混合加工成两种汽油（甲和乙）。甲、乙两种汽油含原油的最低比例分别为 50％和 60％，每吨售价分别为 4800 元和 5600 元。该公司现有原油 A 和 B 的库存量分别为 500 吨和 1000 吨，还可以从市场上买到不超过 1500吨的原油 A 。原油 A 的市场价为：购买量不超过 500 吨时的单价为 10000 元/吨；购买量超过 500 吨单不超过 1000 吨时，超过 500 吨的部分 8000 元/吨；购买量超过 1000 吨时，超过 1000 吨的部分 6000 元/吨。该公司应如何安排原油的采购和加工。

1.问题分析

安排原油采购、加工的目标是利润最大，题目中给出的是两种汽油的售价和原油 A的采购价，利润为销售汽油的收入与购买原油 A 的支出之差。这里的难点在于原油 A 的采购价与购买量的关系比较复杂，是分段函数关系，能否及如何用线性规划、整数规划模型加以处理是关键所在。

2.模型建立

设原油 $A$ 的购买量为 $x$ （单位：吨）。根据题目所给数据，采购的支出 $c(x)$ 可表示为如下的分段线性函数（以下价格以千元/吨为单位）
设原油 $A$ 用于生产甲，乙两种汽油的数量分别为 $x_{1 1}$ 和 $x_{1 2}$ ，原油 $B$ 用来生产两种汽油的数量分别是 $x_{2 1}$ 和 $x_{2 2}$ ，则总的输入为 $4.8\left(x_{11}+x_{21}\right)+5.6\left(x_{12}+x_{22}\right)$ （千元）。于是本例的目标函数（利润）为：
（此处 $c(x)$ 代表一个非线性分段函数）
约束条件包括两种汽油用的原油 $A$ ， $B$ 的库存限制，原油 $A$ 购买量的限制，原油 $A$ 的比例限制。
max=4.8*(y(1)+y(2))+5.6*(y(3)+y(4))-@sum(var2:c*x); y(1)+y(3)<@sum(var2:x)+500; y(2)+y(4)<1000; 0.5*(y(1)-y(2))>0; 0.4*y(3)-0.6*y(4)>0; (x(1)-500)*x(2)=0; (x(2)-500)*x(3)=0; @for(var2:@bnd(0,x,500)); data: c=10 8 6; enddata
运行得到全局最优解：购买1000吨原油 $A$ ，与库存的500吨原油A与1000吨原油B一起，共产生2500吨汽油乙，利润为5000（千元）。

（2）解法二
引入0-1变量 $z_{1}，z_{2}，z_{3}$
max=4.8*(y(1)+y(2))+5.6*(y(3)+y(4))-@sum(var2:c*x); y(1)+y(3)<@sum(var2:x)+500; y(2)+y(4)<1000; 0.5*(y(1)-y(2))>0; 0.4*y(3)-0.6*y(4)>0; @for(var1(i)|i #lt# 3:500*z(i+1)<x(i);x(i)<500*z(i)); x(3)<500*z(3); @for(var2:@bin(z)); @for(var2:@bnd(0,x,500)); data: c=10 8 6; enddata
(3)解法三
直接处理分段线性函数 $c(x)$ 。
当 $x$ 处于第一个小区间 $\left[b_{1}, b_{2}\right]$ ，记 $x=w_{1} b_{1}+w_{2} b_{2}$ ， $w_{1}+w_{2}=1, \quad w_{1}, w_{2} \geq 0$ 因为 $c(x)$ 在 $\left[b_{1}, b_{2}\right]$ 上是线性的。
max=4.8*(y(1)+y(2))+5.6*(y(3)+y(4))-@sum(var:c*w); y(1)+y(3)<@sum(var:b*w)+500; y(2)+y(4)<1000; 0.5*(y(1)-y(2))>0; 0.4*y(3)-0.6*y(4)>0; w(1)<z(1); @for(var(i)|i #ne# 1:w(i)<z(i-1)+z(i)); @sum(var:z)=1; @sum(var:w)=1; @for(var:@bin(z));