如何用尺规做正65537边形？

这个问题竟然没人回答。没看过相关论文，只根据我自己的理解回答。

尺规作图正n边形的核心问题在于圆心角的余弦值 \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) 的计算。

1. 先举几个简单例子，正三边形（正三角形）、正五边形对应的余弦值为

\begin{eqnarray} \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) &=& \frac{1}{2} \\ \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) &=& \frac{\sqrt{5}-1}{4} \end{eqnarray}

圆规可以画出一个圆，设该圆半径为1，用勾股定理可以作出 \sqrt{5} ，加法、减法、减半之类的操作自不比多说。

2. 高斯的正17边形(1796)

圆心角的余弦值为

\cos\frac{2\pi}{17}=\sqrt{\frac{15+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{3\sqrt{17}+17+4\sqrt{2\sqrt{17}+34}-\sqrt{170-26\sqrt{17}}}}{32}}

以上公式很不直观，经过几次换元即可

\begin{eqnarray*} A_{1} & = & \frac{-1+\sqrt{17}}{2}\\ A_{2} & = & -1-A_{1}\\ A_{3} & = & \frac{-A_{1}+\sqrt{\left(A_{1}\right)^{2}+4}}{2}\\ A_{4} & = & \frac{-A_{2}+\sqrt{\left(A_{2}\right)^{2}+4}}{2}\\ \cos\frac{4\pi}{17} & = & \frac{-A_{3}+\sqrt{\left(A_{3}\right)^{2}+4A_{4}}}{4}\\ \cos\frac{2\pi}{17} & = & \sqrt{\frac{1+\cos\frac{4\pi}{17}}{2}} \end{eqnarray*}

以上的每一个式子均对应两三步尺规操作，或是加减、或是开方、或是取半。

3.Friedrich Julius Richelot和Schwendenwein的正257边形（1837）

公式如下

4. Johann Gustav Hermes的正65537边形（1894）

公式过于复杂，由四千多个公式组成，参见我的另一篇回答

数学史上你认为最丑陋的公式是什么？ - 笑横野的回答 - 知乎 https://www. zhihu.com/question/2140 0777/answer/2158173156

ps: handwiki上有个德语网页讲正65537边形的，可惜没看懂

------------------------- 2021年10月12日 修改 -------------------------

包含根号的中间项实际上是一些一元二次方程的根，可以用一种叫做Carlyle Circle的尺规作图方法得到。