1.上下文无关文法定义

文法：它描述语言语法结构的一组形式规则。

上下文无关文法：它定义的语法范畴（或语法单位）是完全独立于这种范畴可能出现的环境。例如，在程序设计语言中，当碰到一个算术表达式时，我们完全可以“就事论事”处理，而不必考虑它所处的上下文。然而，在自然语言中，随便一个词，甚至一个字的意思在不同的上下文中都有可能有不同的意思。幸运的是，当今的程序设计语言都是上下文无关的

好像有点抽象，来个例子

"→"表示箭头左边的由箭头右边的定义

把He gave me a book与上述规则进行对照，看其中的语法范畴是否处于适当的位置，如果你了解英语的话，你应该可以确认这是一个正确的句子。做科学研究都有一个过程从现象得出一般结论，再用实验验证这个一般性结论。有了这个语法规则我们可以造出很多这种英文句子（简单假设，英文语法远比这复杂）。如果我们要造一个句子表达我们自己的意思，利用这个规则，很容易。

根据上述规则，句子无需考虑上下文，就可以判断正确性（符合<主语><谓语><间接宾语><直接宾语>的规则）。

其中，He，me等为终结符号，<主语>、<谓语>、<间接宾语>等为非终结符号。

这个文法最终要定义<句子>语法结构，所以<句子>在这里称为开始符号；<谓语>→<动词>这种书写形式称之为产生式。

归纳一下：上下文无关语法G包括四个部分：一组终结符号，一组非终结符号，一个开始符号，以及一组产生式。

说明一下：终结符号是组成语言不可再分的基本符号，在程序语言中就是保留字、标识符、常数等；非终结符号是一个给定的语法概念，是一个类（或集合）记号，而是不是某个个体记号；开始符号是一个特殊的非终结符号，是语言中我们最终想得到的字符串（在程序语言中，我们最终感兴趣的是“程序”这个语法范畴，其他的语法都是构造“程序”的基石）;产生式（也称产生规则或者简称规则）是语法范畴的一种书写规则。

你想嘛，gave这个单词，拆分为一个个字母，就不再是gave了，没有什么特别的含义；而非终结符号就是诸如gave的动词的集合。

额，有个细节好像忽略了，产生式的形式：

箭头左边是一个非终结符，称之为产生式的左部，箭头右边称之为右部。

A是一个非终结符，α是由 非终结符号和终结符号的并集 的闭包 中的元素 组成的符号串

形式化的上下文无关文法定义：

一个四元数组G=(V _N ,V _T ,S,P)

V _N :非空有限的非终结符集合

V _T :非空有限的终结符集

S：开始符号

P：产生式集合

其中，V _N ∩V _T =∅，S∈V _N

P中产生式一般形式为A→α|β，其中A∈V _N ，α，β∈(V _N ∪V _T ) ^*

通常用大写字母表示非终结符，小写字母表示终结符，α、β、γ等代表由 终结符和非终结符号的并集的闭包 中的元素 组成的符号串。

例如:E→i|EAE　　　　A→+|*

是上下文无关语法，E、A是非终结符，E是开始符，而i，+和*是终结符

2.用上下文无关语法定义一个语言

一个上下文无关语法如何定义一个语言呢，主要思想是从文法的开始符号出发，反复连续使用产生式，对非终结符进行替换和展开。

算术表达式的定义可以写为：

E→E+E

E→E*E

E→(E)

E代表算术表达式，i代表变量。这四个产生式的后三个是递归的。

我们可以定义如下文法G

E→E+E|E*E|(E)|i

开始符号为E，从E出发E=>（E）=>(E+E)=>(E*E+E)=>(i*E+E)=>(i*i+E)=>(i*i+i)

符号"=>"表示仅推导一步

我们定义αAβ=>αγβ为αAβ直接推导出αγβ，仅当A→γ是一个产生式，且α，β∈(V _N ∪V _T ) ^* 。

如果a ₁ =>a ₂ =>a ₃ =>...=>a _n ，我们称这个序列是从a ₁ 到a _n 的一个推导。若存在一个从a ₁ 到a _n 的推导，则称之为a ₁ 可推导出a _n 。用a ₁ =>a _n 表示从a ₁ 出发经过零步或若干步，可推导出a _n 。

假设G是一个文法，S是它的开始符号，如果S=>α则称α是一个句型。仅含终结符号的句型是句子。文法G所产生的句子全体是一个语言记为L(G)。

L(G)={α|S ⁺ =>α&α∈V _T ^* }

例如：文法G ₁ ：

A→aA|a

从符号S出发我们可以推出，S=>bA=>ba

S=>bA=>baA=>baa

S=>bA=>baA=>...=>ba...a

归纳得出所有以b开头后头跟一个或者多个a的字符串L(G ₁ )={ba ⁿ |n>=1}