Fulong Ye : 为什么DDIM的观察是最终的目标函数只跟$p(x_{t}|x_...

Mr Yan : 明白了，多谢！

咸鱼 : 苏老师，公式(6)到(7)是如何得到的呢？我动手推了好久也没成...

ludwing : 请问博主为什么需要将它们重新归一化然后进行采样，而不是直接输出...

GGbond : 我懂了，谢谢苏神的解答

Thirteen : 苏神，请教一个低级点的问题，如果每个样本有自己对应的分布，那这...

谷正阳 : 不过上面的分析基于仿射耦合，如果是加性耦合可能不一样

谷正阳 : 苏神你好，下面从编码器的方向来说，就是这部分代码：https:...

lwx : 我的进步从此刻开始，加油

Leo Ma : 在ULM分词的时候，我们需要计算每个子词的概率$$P(w_i)$$

The New Calculation Of Lagrangian Point 1,2,3

关于n体问题，选择质心或其他定点为参考点，我们可以列出下面的运动方程：
$$\ddot{\vec{r}}_k=\sum_{i=1,i != k}^{n} Gm_i\frac{\vec{r}_i-\vec{r}_k}{|\vec{r}_i-\vec{r}_k|^3}\tag{19}$$
现在我们只考虑三体问题。天文学家一直希望能够找到三体问题的简洁解，可是很遗憾，庞加莱已经证明了三体问题的解是混沌的，也就是说任何微小的扰动都有可能造成不可预料的后果（可以形象的比喻为：巴西的一只蝴蝶翅膀的扇动，有可能因此美国的一场龙卷风）。

三体问题演示动画：

不过，在“不和谐”中寻找“和谐”，始终是科学家的目标，因而他们瞄准了某些特解。当我们发现一个问题难以求得通解时，我们都可以尝试求一下特解，也许特解能够指引我们寻找通解之路。对于三体问题，拉格朗日寻找到了5个特解，这就是著名的拉格朗日点。

什么是拉格朗日点？拉格朗日点来源于“圆形限制性三体问题”，这个问题假设了这样一种情况：假定两个有限质量体在相互引力作用下绕其质心作圆周运动，第三个无限小质量体不对前两个天体的运动造成任何影响，只是在两个有限质量体的万有引力作用下运动。拉格朗日点就是第三个天体相对于前两个天体的位置始终保持不变的点。从下面的动画可以容易地看出这一特征：

L1：

换句话说，位于地球的拉格朗日点的小质量天体，它的公转周期与地球相同。根据这一特点，我们可以利用高中向心力的知识，简单地求出拉格朗日点的位置所在。因为小质量天体也在做圆周运动，它的向心力来源于太阳对它的引力与地球对它的引力的合力在向径方向的投影，所以根据向心力公式列出方程，即可以得出答案。有兴趣的读者可以自己推导，在此不详述。

就目前来说，我们所造的一些太空探测器、人造卫星等，也有部分发射到了拉格朗日点上；受目前的科学技术所限制，飞行器的质量是可以忽略掉的。不过，圆形的三体问题始终会有一定的局限，当我们的科技发展到能够造出如月球般的探测器时，就无法忽略自身的质量了。我们希望能够得出完整的三体问题中这样的“五个特解”。这种情况下，拉格朗日点到太阳或地球的距离不再是不变的了，而是不断变化，但是比例保持不变。这个计算需要用到文章开头就给出的(1)式。我们尝试设法找出与“太阳-地球”向径共线的拉格朗日点。

由于三者共线，我们可以设定$\vec{r}_2-\vec{r}_1=\vec{r},\vec{r}_3-\vec{r}_1=k\vec{r},|\vec{r}|=r$，太阳、地球、第三天体的质量分别为M,m,m' ，可以得出

$$\begin{aligned}\ddot{\vec{r}}_1=Gm\frac{\vec{r}_2-\vec{r}_1}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|^3}+Gm'\frac{\vec{r}_3-\vec{r}_1}{|\vec{r}_3-\vec{r}_1|^3}=Gm\frac{\vec{r}}{r^3}+Gm'\frac{k\vec{r}}{|k|^3 r^3} \\ \ddot{\vec{r}}_2=GM\frac{\vec{r}_1-\vec{r}_2}{|\vec{r}_1-\vec{r}_2|^3}+Gm'\frac{\vec{r}_3-\vec{r}_2}{|\vec{r}_3-\vec{r}_2|^3}=-GM\frac{\vec{r}}{r^3}-Gm'\frac{(1-k)\vec{r}}{|1-k|^3 r^3} \\ \ddot{\vec{r}}_3=GM\frac{\vec{r}_1-\vec{r}_3}{|\vec{r}_1-\vec{r}_3|^3}+Gm\frac{\vec{r}_2-\vec{r}_3}{|\vec{r}_2-\vec{r}_3|^3}=-GM\frac{k\vec{r}}{|k|^3 r^3}+Gm\frac{(1-k)\vec{r}}{|1-k|^3 r^3}\end{aligned}$$

为了化简问题，我们变换成以太阳为参照点，那么
$$\ddot{\vec{r}}=\ddot{\vec{r}}_2-\ddot{\vec{r}}_1=-G(M+m)\frac{\vec{r}}{r^3}-Gm'(\frac{1-k}{|1-k|^3}+\frac{k}{|k|^3})\frac{\vec{r}}{r^3}\tag{20}$$$$k\ddot{\vec{r}}=\ddot{\vec{r}}_3-\ddot{\vec{r}}_1=-G(M+m')\frac{k\vec{r}}{|k|^3 r^3}+Gm(\frac{1-k}{|1-k|^3}-1)\frac{\vec{r}}{r^3}\tag{21}$$
拉格朗日点要成立，必须要求(2)与(3)两个式子所表达的$\ddot{\vec{r}}$相等，因此有
$$(M+m)+m'(\frac{1-k}{|1-k|^3}+\frac{k}{|k|^3})=\frac{M+m'}{|k|^3}-m(\frac{1-k}{k|1-k|^3}-1/k)\tag{22}$$
(22)是关于k的一元五次方程，拉格朗日点即由该式给出，这只是和质量有关。由于包含绝对值，因此(22)式要分三种情况讨论，所以实际上(22)包含了3道一元五次方程。要是m'小得可以忽略的时候，(22)式可以简化成
$$M+m=\frac{M}{|k|^3}-m(\frac{1-k}{k|1-k|^3}-1/k)\tag{23}$$
将M=332918.215,m=1（太阳与地球的质量比）代入，当0< k<1时，可以求出一个实数根k=0.9900293204354188...，这就是 第一拉格朗日点 ；当k>1时，可以求出一个实数根k=1.0100374005377246...，这就是 第二拉格朗日点 ；当k<0时，可以求出一个实数根k=-0.9999982478231744...，这就是 第三拉格朗日点 。（注意，这里距离指的是拉格朗日点与太阳的距离，而非到“地日共同质心”的距离）

至此，我们推导出了完整的三体问题的三个拉格朗日点，这不再局限于“限制性三体问题”。 当然，依旧剩下L4和L5，局限于BoJone的知识面浅薄，未能利用本文所探讨的方法给予解释，望高人指点... 在推导的过程中，还让BoJone领悟到了一点：用复数可以方便地研究几何！！

剩下的L4和L5，将在下文中探讨！

L2

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苏剑林. (Aug. 15, 2010). 《《方程与宇宙》:拉格朗日点的点点滴滴(四) 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/861

@online{kexuefm-861,
title={《方程与宇宙》:拉格朗日点的点点滴滴(四)},
author={苏剑林},
year={2010},
month={Aug},
url={\url{https://spaces.ac.cn/archives/861}},

将数学理论滆入宇宙理论是一大错2010年09月09日 星期四 上午 07:25奉劝各位一句:这里是研究宇宙和生命,它与数学理论是亳不相干的,若将数学理论运用进来,则是范了致命性的错误,例如数学理论中的无限数在宇宙物质世界里就不存在,这就是为什么无限大=无限小=无=无意义.只有那种不起任何作用的绝对真空,才可说无限.在绝对物质中是不能说无限二字的.因为物质世界中是不存在无限二字的,不论物质的多少还是大小,或物质运动的范围,都是有限的.而数学里面则存在不现实的无限理论,拿无限渗入本有限的宇宙世界是行不通的.只会搞得迷糊，再就是空间与时间的渗入也是很致命性的错误，因为空间与时间也是永恒的，即无眼的，要谈空旬及时间或真空，也应严格区分的谈，不可混为一谈。因为这些概念对宇宙原理来讲，是毫无意义，即不起任何的相互作用。（此观点不代表科学空间——BoJone）

关于G(M+m)的，请仔细看(20)式。两个向量相减就得到(M+m)。

不能马上以太阳为参考系，因为牛顿第二定律在惯性系中才成立的，太阳自己也在运动，不是惯性系，只有在近似情况下才能看成惯性系。

对，这样是比较直接的思路。我们通常的物理定律，都是在惯性系下成立的，变换到非惯性系中，就会多出来一个“非惯性力”。倘若直接在非惯性系中分析，我们不容易得到这个非惯性力的表达式。