时间反演对称（TRS）保护下拓扑绝缘体（三）：Z2不变量(Wilson loop 方法)

是本系列的最终篇，解决这样一个问题：“ 如何判断一个体系会出现 \times 形状的能带？ ”

对于这个问题，最暴力最直接的方案就是去画出这样一个能带，看体系的边缘态，正如本系列第一篇中介绍BHZ模型那样，但拓扑绝缘体之所以以“拓扑”冠名在于，我们可以通过体（Bulk）带的拓扑性质去计算某个量（ 就是所谓的拓扑不变量 ），从而判断是否能够出现导电边缘态，即所谓的 体-边界效应 （bulk-boundary correspondence）。

对时间反演对称体系来说，对于的拓扑不变量就是所谓的 \mathbb { Z } _ { 2 } 不变量，和Chern number之于Chern绝缘体一样，我们通常把 \mathbb { Z } _ { 2 } 不变量来label的拓扑绝缘体称为 \mathbb { Z } _ { 2 } 绝缘体，这个不变量的确定是基于体带的拓扑性质。 \mathbb { Z } _ { 2 } 这一名字来源于数学上，只能取到两个数（奇偶性）。 \mathbb { Z } _ { 2 } 不变量的计算和定义方法不止一种[1]。本文介绍的是理解上比较直观的一种，需要用到Wilson loop的相关知识。

非阿贝尔贝瑞相(Nonabelian Berry phase)&多带万尼尔态(Multiband Wannier states)

设一个环状的体系（loop）,其粒子数目为 N ，内禀自由度为 N_F ，体系具有周期性边界条件和一个平移对称性。有布洛赫定理，体系具有本征态： | \Psi _ { n } ( k ) \rangle = | k \rangle \otimes | u _ { n } ( k ) \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \sum _ { m = 1 } ^ { N } e ^ { i m k } | m \rangle \otimes | u _ { n } ( k ) \rangle 其中 n=\{1,2,...,N_F\},k=\{0,1,2,...,N\}\frac{2\pi}{N}

1. 先给出两个投影算符的定义式 \hat { P } = \sum _ { k } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { F } } | \Psi _ { n } ( k ) \rangle \langle \Psi _ { n } ( k ) | = \sum _ { k } | k \rangle \langle k | \otimes \hat { P } ( k )\\ \hat { P } ( k ) = \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { F } } | u _ { n } ( k ) \rangle \left\langle u _ { n } ( k ) |\right.
2. 构建重叠矩阵： M _ { n m } ^ { ( k l ) } = \left\langle u _ { n } ( k ) | u _ { m } ( l ) \right\rangle ， 进而可以定义分离的Wilson loop : W = M ^ { ( 12 ) } M ^ { ( 23 ) } \ldots M ^ { ( N - 1 , N ) } M ^ { ( N 1 ) } 为一个 N_F\times N_F 的矩阵，由特征方程可以进一步求得其本质值 W \underline { v } _ { n } = \lambda _ { n } \underline { v } _ { n } 。当然，我们不一定必须首末都是1所label的动量态，更广义上可以定义： W ^ { ( k ) } = M ^ { ( k , k + 1 ) } M ^ { ( k + 1 , k + 2 ) } \ldots M ^ { ( N , 1 ) } M ^ { ( 1,2 ) } \ldots M ^ { ( k - 1 , k ) } 。但可以证明 无论k是如何， W^{(k)} 本征值都是相同的 ，不影响后续讨论。现在，构造 W 对应的算符： \hat { W } = \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { F } } \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { F } } | u _ { n } ( 1 ) \rangle W _ { n m } \left\langle u _ { m } ( 1 ) |\right. ，有关系： \hat { W } = \hat { P } _ { 1 } \hat { P } _ { 2 } \hat { P } _ { 3 } \ldots \hat { P } _ { N } \hat { P } _ { 1 }

其实有了 \lambda_n 就可以开始定义 \mathbb { Z } _ { 2 } 不变量，但基于物理意义的理解，需要关注万尼尔态( Wannier function )，万尼尔态是一组基，翻译成万尼尔基也没什么问题，数学上来说，万尼尔态/基即满足以下4个性质： （正交&完全集，和 |m\rangle 相同的平移对称，局域性） \left\langle w _ { n ^ { \prime } } \left( j ^ { \prime } \right) | w _ { n } ( j ) \right\rangle = \delta _ { j ^ { \prime } j } \delta _ { n ^ { \prime } n }\\ \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { F } } | w _ { n } ( j ) \rangle\langle w _ { n } ( j ) | = \hat { P } \\ \forall m : \langle m + 1 | w _ { n } ( j + 1 ) \rangle = \langle m | w _ { n } ( j ) \rangle \\ \lim _ { N \rightarrow \infty } \left\langle w _ { n } ( N / 2 ) \left| ( \hat { x } - N / 2 ) ^ { 2 } \right| w _ { n } ( N / 2 ) \right\rangle < \infty

基于能带上的每一个占据态都可能对万尼尔态做贡献，和我们常用的能带的本征态之间的关系可以写作： | w _ { n } ( j ) \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \sum _ { k = \delta _ { k } } ^ { N \delta _ { k } } e ^ { - i j k } \sum _ { p = 1 } ^ { N _ { F } } U _ { n p } ( k ) | \Psi _ { p } ( k ) \rangle

一方面，万尼尔态/基，为以下有限占据态下的酉位置算符的本征态 ： \hat{X}_P=\hat{P}e^{i\delta_k \hat{x}}\hat{P}; \hat{x}=\sum_m^N m|m\rangle\langle m|\\

这样 \hat W，\hat P 与万尼尔态就建立起了直接的联系 。

据 \left\langle \Psi _ { n ^ { \prime } } \left( k ^ { \prime } \right) | \hat { X } | \Psi _ { n } ( k ) \right\rangle = \delta _ { k + \delta _ { k } , k ^ { \prime } } \left\langle u _ { n ^ { \prime } } \left( k + \delta _ { k } \right) | u _ { n } ( k ) \right\rangle 这一性质，我们可以把算符 \hat{X}_P 展开写作：

\hat { X } _ { P } = \sum _ { k ^ { \prime } k; n ^ { \prime } , n = 1 } | \Psi _ { n ^ { \prime } } ( k ^ { \prime } ) \rangle \langle \Psi _ { n ^ { \prime } } \left( k ^ { \prime } \right) | \hat { X } | \Psi _ { n } ( k ) \rangle \left\langle \Psi _ { n } ( k ) |\right.\\ = \sum _ { k } \sum _ { n ^ { \prime } , n = 1 } ^ { N _ { F } } \left\langle u _ { n ^ { \prime } } \left( k + \delta _ { k } \right) | u _ { n } ( k ) \right\rangle \cdot | \Psi _ { n ^ { \prime } } \left( k + \delta _ { k } \right) \rangle \left\langle \Psi _ { n } ( k ) |\right. 进而存在： \left( \hat { X } _ { P } \right) ^ { N } = \sum _ { k } \sum _ { m n } W _ { m n } ^ { ( k ) } | \Psi _ { m } ( k ) \rangle \left\langle \Psi _ { n } ( k ) |\right. ，正如前面提到，对不同k，Wilson loop matrix W_{mn}^{k} 是酉等价的，具有相同的本征矢和本征值 ： \lambda _ { n } = \left| \lambda _ { n } \right| e ^ { i \theta _ { n } } 其中 \left| \lambda _ { n } \right| \leq 1 ,\theta _ { n } \in [ - \pi , \pi ) ，算符 \hat{X}_P 的本质值是 W_{mn}^{k} 的本质值的N阶根：

\lambda _ { n , j } = e ^ { i \theta _ { n } / N + i j \delta _ { k } + \ln \left( \left| \lambda _ { n } \right| \right) / N } \Longrightarrow\left( \lambda _ { n , j } \right) ^ { N } = \lambda _ { n}\\

基于以上，可以证明Wilson loop 矩阵和万尼尔态的一个重要的关系是：

\langle x \rangle _ { n , j } = \frac { N } { 2 \pi } \operatorname { Im } \ln \lambda _ { n , j } = \langle x \rangle _ { n } + j\\ \langle x \rangle _ { n } = \frac { \theta _ { n } } { 2 \pi }

\langle x \rangle _ { n , j } =\langle w_n ( j ) | \hat { x } | w_n ( j ) \rangle 称之为为万尼尔中心（Wanner Centers），在Wilson loop matrix只考虑单带的情况有性质： \langle w ( j ) | \hat { x } | w ( j ) \rangle = \frac { i } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d k \langle u ( k ) | \partial _ { k } u ( k ) \rangle + j ， 从这个角度来看，贝瑞相（能带的拓扑性质）在万尼尔态中表征一种极化性质，从而出现了边缘态 。我们考虑带之间的混合，即 W 为一矩阵的情况，出现了相 \theta_n 来表征万尼尔态的极化 。这个相我们称作 非阿贝尔贝瑞相(Nonabelian Berry phase)，( N_F=1 时候即贝瑞相，具有阿贝尔性 ， N_F\neq1 的时候通常不具有阿贝尔性），非阿贝尔贝瑞相在 \mathbb Z_2 拓扑绝缘体中扮演贝瑞相之于陈绝缘体的角色 。

给万尼尔中心（Wanner Centers）加上时间反演对称（TRS）

前面扯了一堆，主要是为了引申出非阿贝尔贝瑞相的定义，现在我们可以开始进行扣题了，什么是 \mathbb Z_2 ?以及如何计算 \mathbb Z_2 不变量。

来看看把时间反演对称和 \theta_n 结合会发生什么:

** 为了不混淆，这里我将时间反演算符记做 \hat\Theta=\hat { \tau }\hat{\kappa} ,这里的 \hat\tau 即(一）和（二)中的 \hat\theta . **

前面我们知道，时间反演对称的一个推论是 \hat { \tau } \hat { H } ( - \vec { k } ) ^ { * } \hat { \tau } ^ { \dagger } =\hat { H } ( \vec { k } ) ，体现在态中就是关系 | u _ { n } ( - \vec{ k } ) \rangle = \hat { \tau } \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { F } } \left( B _ { n m } ( \vec { k } ) | u _ { m } ( \vec { k } ) \rangle \right) ^ { * } = \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { F } } B _ { n m } ( \vec { k } ) ^ { * } \hat { \tau } | u _ { m } ( \vec { k } ) ^ { * } \rangle ，其中 B _ { n m } ( \vec { k } ) 是一个酉矩阵，通过以上关系可以得证 B _ { n m } ( \vec { k } ) = \left\langle u _ { n } ( - \vec { k } ) | \hat { \tau } | u _ { m } ( \vec { k } ) ^ { * } \right\rangle 。通过这一点，对于二维拓扑绝缘体，我们将 k_x 方向作为我们前面讨论的k方向， k_y 视作一种周期性改变，同我们将 k_y 分量当作一维粒子的周期性pump的思想一样，可以证明：

\hat { P } _ { - j } \left( - k _ { y } \right) = \hat { P } ( - \vec { k } ) = \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { F } } | u _ { n } ( - \vec { k } ) \rangle \langle u _ { n } ( - \vec { k } ) |\\ = \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { F } } \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { F } } \sum _ { m ^ { \prime } = 1 } ^ { N _ { F } } B _ { n m } ( \vec { k } ) ^ { * } \hat { \tau } | u _ { m } ( \vec{ k } ) ^ { * } \rangle B _ { n m ^ { \prime } } ( \vec { k } ) \langle u _ { m ^ { \prime } } ( \vec { k } ) ^ { * } \hat { \tau } ^ { \dagger }= \hat { \tau } \hat { P } _ { j } \left( k _ { y } \right) ^ { * } \tau ^ { \dagger } = \hat { \tau } \hat { P } _ { j } \left( k _ { y } \right) ^ { T } \tau

前面提到，Wilson loop \hat{W} 可以表示为 \hat{P} 的乘积，容易证明 \hat { W } \left( - k _ { y } \right) = \hat { \tau } \hat { W } \left( k _ { y } \right) ^ { T } \hat { \tau } ^ { \dagger } 。 矩阵的转置和酉变换不改变本征值，因此可得： \theta _ { n } \left( k _ { y } \right) = \theta _ { n } \left( - k _ { y } \right) ，这是考虑 \theta_n 和TRS结合的重要结果 。第二个重要的点是关于TRIM，在我们前面讨论的模型（BHZ model）中，第一布里渊区下 k_y\in[-\pi,\pi] ， k_y=0,\pi 两点为所谓的TRIM，其意义在于 \hat{H}_{bulk}(0),\hat{H}_{bulk}(\pi);\hat{W}(0),\hat{W}(\pi) 皆为时间反演不变量，前者是类似“原点”的数学性质，后者是平移不变性必然保证的。 可以证明，这两点处存在双重简并 。

拓扑：两种万尼尔中心流（Wanner center flow）

\theta _ { n } \left( k _ { y } \right) = \theta _ { n } \left( - k _ { y } \right) 加上 k_y=0,\pi 两点的双重简并 ，其 \theta(k_y) 的图像总共仅仅两种拓扑性质，如下：

留意三图中虚线，一种是(a)类似中的图形，通过绝热形变，虚线可以穿过整个布里渊区不与图像有任何交点，一种是(b)(c)。

事实上，这三幅图就是通过BHZ模型画出来的 （ N_F=2 ，故为两支，并且其中一支为另一支的时间反演对称态）：

\hat { H } ( \vec { k } ) = \hat { s } _ { 0 } \otimes \left[ \left( u + \cos k _ { x } + \cos k _ { y } \right) \hat { \sigma } _ { z } + \sin k _ { y } \hat { \sigma } _ { y } \right) ] + \hat { s } _ { z } \otimes \sin k _ { x } \hat { \sigma } _ { x } + \hat { s } _ { x } \otimes \hat { C }\\ +g \hat { s } _ { z } \otimes \hat { \sigma } _ { y } \left( \cos k _ { x } + \cos 7 k _ { y } - 2 \right)

相比于文章（一），这里加入了 g \hat { s } _ { z } \otimes \hat { \sigma } _ { y } \left( \cos k _ { x } + \cos 7 k _ { y } - 2 \right) 项当作一种保持对称性下的绝热形变，在(a),(b)中， g=0 。（a）中 \hat { C } = 0.02 \hat { \sigma } _ { y };u=2.1 ；同时当 u\rightarrow\infty 的时候， \theta(k_y)=0 ;（b）中 \hat { C } = 0.3 \hat { \sigma } _ { y };u=1 ;（c）中 \hat { C } = 0.1 \hat { \sigma } _ { y };u=1;g=0.1 。在不改变对称性的情况下，通过绝热形变（如改变 u,g,|\hat C| ），可使(b)变为(c)，但无法使(b),(c)变为(a)。故万尼尔流的两种类型可以定义出一种拓扑不变量。详细的讨论可看参考文献[1]的图5相关内容。

体拓扑不变量(Bulk Topological Invariant)

藉由万尼尔流，我们可以定义体拓扑不变量 N_{bulk} ：对任一 \tilde \theta \in[-\pi,\pi) , N_n(\tilde{\theta})= 方程 \theta _ { n } \left( k _ { y } \right) = \tilde { \theta } 解的个数， N _ { \mathrm { bulk } } = \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { F } } N _ { n } ( \tilde { \boldsymbol { \theta } } )/2\right) \bmod 2 。 当然定义中可以不用除以2，但使 k_y 只取半个布里渊区域 k_y\in(0,\pi] 就行了 ，因为 \theta _ { n } \left( k _ { y } \right) = \theta _ { n } \left( - k _ { y } \right) 保证了另一半布里渊区始终是这一半的简单重复。这个定义说白了就是去数穿过 \theta _ { n } \left( k _ { y } \right) = \tilde { \theta } 的“相带”的个数，如果把 k_y=0,2\pi 两边“卷起来”，就是去数“相带”绕了多少圈，具体讨论还是可以参考文献[1]，[2].

结语

本文是《时间反演对称（TRS）保护下拓扑绝缘体》系列的第三篇，通过介绍Wilson loop， 多带万尼尔态定义非阿贝尔贝瑞相，通过对称性，结合BHZ模型的例子给出了一种 \mathbb Z_2 不变量的定义。“ 为什么会出现边缘态？” ， 现在可以站在万尼尔态的视角上给出一个理解。

我们可以把边缘态理解为一种极化累加后的净效应（每一个万尼尔中心都存在极化，Bulk中相互抵消，但边界处盈余），而这种极化的程度是和我们定义的（非阿贝尔/阿贝尔）贝瑞相所直接联系的 ， 选取非阿贝尔/阿贝尔贝瑞相源于是否考虑多带万尼尔态，是否考虑呢？又取决于系统对称性的特点 。

后续有空会进一步丰富本文。先发出来供大家指正和讨论！

参考文献

1. 余 睿, 方 忠, 戴 希《 \mathbb Z_2 拓扑不变量与拓扑绝缘体》[J]. 物理, 2011, 40(07): 0-0.

2.物理所戴希老师的文章（相当于[1]的科普版）：

3.《A Short Course on Topological Insulators: Band-structure topology and edgestates in one and two dimensions》Chapter 9