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小百科  ›  非结合代数
交换代数 数学 代数基本定理 代数
不爱学习的墨镜
2 年前
非结合代数，non-associative algebra，一般 环论 中的一个分支，与 结合代数 在方法和内容上都有非常密切的联系。
环论是研究具有两种结合法的特殊代数系——环的科学。代数学的分支学科。环论的主要研究内容：①交换环论;②具有链条 件的环论; ③一般环论。1945年雅各布森 (N.Jacobson) 创造了根基理论，建立了一般环构造 的基础理论。
环论是研究环的性质及其运算 规律的代数分支学科。近代环论也 包含了非结合代数。“环”是抽象代 数研究中的基本对象之一。
环和理想的构造在19世纪已为 人熟知，并应用在 戴德金 (Dedekind，R.)和克劳尼克(Kronecker， L.)等关于代数数的著作中。克劳 尼克(Kronecker，L.)将环称为“order”，希尔伯特(Hilbert，D.)才引 进了“ring (环)”这一词。但是抽 象的理论是在20世纪发展起来 的。至诺德爱米(Noether，N.)将其 置于系统化和公理化的基础上。
环论和群的概念有密切关系， 设S是一个集合，它在加法之下 构成Abel群，在乘法运算之下是 半群，对加法满足分配律，即对：
∀a， b， c∈S
a(b+c)=ab+ac
(a+b)c=ac+bc
在环中，对乘法而言：ab=0⇏a=0或b=0如果有a∈S， 存在b∈S，使ab=0 (ba=0)，则 说a是S中的一个左 (右) 零因 子。不含零因子的交换环称为整 环。数域上的多项式环也是整环。 n阶矩阵环则不是整环。
正如不变子群在群的研究中所 起作用一样，理想的概念对环的研 究至关重要。对环S中的非空子集 A，如果A关于S中的两种运算构 成环，则A是S的子环。进一步， 对S中的子环A， 如果∀ m ∈S， a∈ A，有xa，ax∈A，则A称为环S 的一个理想。显然S中理想的交集 仍是S的理想，当A是环S的一个 理想时，由加法运算作出商群 S/A，此商群对乘法而言，易证其 为半群，从而S/A构成环，称为 商环，或称S关于A的剩余类环。
环的同态和同构是研究环的重 要工具。
设f是环A到环Ā的一个映 照， 如果对∀a·b∈A有f(a+b) =f(a)+f(b)，f(ab)=f(a)f(b)，则说f 是A到Ā的同态映照， 当f是满射 时， 则说f是A到Ā的满同态; 而 如果f是双射， 则称f是A和Ā的 同构映照， 并说A和Ā同构，记 为A≃Ā。
设f是A到A的同态映照，o 是中零元素 (加群的单位元) 记 kerf={x∈A|f(x)=0}称为同态映 照f之核，kerf关于加法构成群， 关于乘法构成半群。 又∀x∈A， y ∈kerf，
f(xy)=f(x) f(y)=0
f(yx)=f(y) f(x)=0
∴xy，yx∈kerf，故kerf为A 的一个理想。由此可得环的同态基 本定理。
A是环，则A的任一商环都 是A的同态象， 反之， 如果Ā是 A在f之下的同态象，则有
A≃A/kerf
由环的概念，可引伸出代数的 概念，设S是一个环，如果作为 加法群，它是域K上的向量空 间，域K上的数乘和S上的乘法 可交换，即α∈K，a·b∈S，则 (αa)b=α(ab)，则S称为一个 代数，进一步可讨论代数的表示理 论。
环论在域论中起决定性作 用，在 泛函分析 中也获得广泛应用。
若尔当 代数是20世纪30年代P.若尔当、J.冯·诺伊曼和E.威格纳等人，在研究 量子力学 的基础时引用的一种非结合代数。在描述量子力学基础时涉及 结合代数 〈 A ，+,·〉（希尔伯特空间的算子代数）中，将原来的有 结合律 的乘法·换成新的乘法：
就得到非结合代数〈 A ，+，。〉，其中乘法。满足 恒等式 x 。 y = y 。 x 和 x 2。(y。x)=(x2。y)。x，这里x2=x。x；后来,就把满足这两个恒等式的代数称为 若尔当 代数, 并将如此得出的 若尔当代数 记作 A+。之所以规定乘法。 如(2)，是因为考虑到:若x、y都是 埃尔米特 算子,则x。y也是埃尔米特算子，但一般说来，x·y已不是埃尔米特算子。
李型 代数和 若尔当型代数的概念，早在20世纪40年代末期就由A.A.阿尔贝特提出来了，但它的重要性还是自70年代以来由于理论物理的需要，例如在统计物理、力学、原子物理中讨论无势相互作用等，才显示出来。所谓一个代数〈A,+,·〉为李型代数，是指〈A，+,×〉是李代数,其中新乘法×由(1)定义。结合代数和李代数都是李型代数。所谓一个代数〈A,+,·〉为 若尔当 型代数，是指〈A,+,。〉是若尔当代数,其中新乘法。由(2)定义。结合代数和 交错代数 都是若尔当型代数。 ，其运算：( α , b )+(с, d )=( α +с, b + d ); α ( α , b )=( αα , αb )；( α ， b )·(с, d )=( α с- b , dα = b )，这里 α , b ,с, d ∈ Q ,、分别是с、 d 的共轭元, α ∈ R 。由 直接验证 可知，C 是 实数域 R 上的8维代数，有 单位元 (1,0)。它是可除代数,即对于任意 u , v ∈C, u ≠0，在C 中 ux = v 和 xu = v 有解。它的乘法不适合 结合律 ，却满足 恒等式 x 2y=x(xy)和yx2=(yx)x 。把满足这两个恒等式的代数称为 交错代数 。凯莱代数是交错可除代数的一个例子。 结合代数 是交错代数。刻画交错代数与结合代数的接近程度的是 阿廷 定理：一个代数A是交错代数, 当且仅当 其中任意两个元素生成的子代数是结合代数。
非结合代数理论在很大程度上是沿着结合环与 结合代数 的发展道路发展的。结合环与结合代数的发展初期，大致可分为三个阶段：有限维代数的韦德伯恩理论，对右理想适合极小条件的环的 阿廷 理论，以 雅各布 森根和本原环理论为中心的一般环理论。各种非结合代数都有着不同的发展深度，有些还处于一种相当于结合代数的韦德波恩理论的阶段，例如 马尔采夫 代数，而交错 代数和 若尔当 代数的发展最快，大致完成了上述结合环的三个阶段。以下是关于交错代数和若尔当代数的一些结果的简介。
推广的 弗罗贝尼乌斯定理 ： 实数域 上有限维交错可除代数只有实数域、 复数 域、 四元数 代数以及凯莱代数等四种。它们在实数域上的维数是 1,2,4,8。与此定理有关的一个有趣问题是：在实数域中, n 个 平方数 的和乘以 n 个平方数的和，仍是 n 个平方数的和吗？利用这个定理中的四种代数以及其中的共轭元素概念，不难作出当 n =1,2,4,8时确是成立的结论。A. 胡尔维茨以及阿尔贝特指出， n 只能是1,2,4,8，从而完满地解决了这个问题。
R.博特、J.W.米尔诺和M.克拉尔应用代数 拓扑 工具，证明了一个重要的定理： 实数域 上有限维(非结合)可除代数的维数，只能是1,2,4,8。
阿尔贝特、R.D.谢弗、A.J.佩尼罗和M.佐恩等人证明了与有限维 结合代数 的 韦德伯恩定理 相平行的关于交错 代数和 若尔当 代数的定理。
单代数的分类是有限维代数研究中的一个重要问题。设 A 是域 F 上有限维单代数，而且是 交错代数 或若尔当代数，此时 A 必有 单位元 1,定义C={с|с∈ A ,с x = x с,с, x , y 之间的乘法适合 结合律 ,凬 x ， y ∈ A }是 A 的中心。可以证明，C必是一个域。如果C= F ,那么 A 称为 F 上中心单代数。交错单代数的品种不多，域 F 上有限维中心单代数,或是 结合代数 ,或是 F 上凯莱-迪克森代数。任意域 F 上的凯莱-迪克森代数是 F 上8维代数,其定义与 实数域 上凯莱代数的定义类似，它是实数域上凯莱代数的推广，其中也有共轭元素的概念。E. 克莱因 菲尔德把上述结果推广到任意交错环上。
中心单若尔当代数的类型则较多,有 A 、 B 、C、 D 、 K 型。仅仅就例外单若尔当代数( K 型单代数)而论,它和五个例外单李代数类型处于类似的地位。取 D 为域 F 上的一个凯莱－迪克森代数, D 3表 D 上三阶矩阵组成的代数，任取
，即将矩阵 X 转置,并把每一系数换成其共轭元素。可知映射：
是 F 上代数 D 3的一个对合。令
，即 H ( D 3)是 D 3中关于对合的所有 埃尔米特 元素的全体。可以证明， H ( D 3)关于 若尔当 乘法
作成一个 若尔当 代数。注意到 D 是 F 上 8维 交错代数 ，还可以证明< H ( D 3),+,。>是 F 上中心单代数，其维数是27，并且是 例外若尔当代数 。例外单李代数与凯莱－迪克森代数也有密切关系。所谓例外的若尔当代数，即指不是特殊的若尔当代数。若 A 是 结合代数 ,则 A _是李代数，A+是若尔当代数。A_(A+)、A_(A+)的子代数以及与之 同构 者,称为特殊李代数（ 特殊若尔当代数 ）。虽然不是每一个李环都是特殊的，但是著名的伯克霍夫－维特定理指出，域上李代数都是特殊的。Α.И.希尔绍夫的定理又指出，任意具有两个 生成元 的 若尔当 代数（环）是特殊的。
K.A.日弗拉科夫完整地刻画了 阿廷 交错环。由于缺乏适当的“单侧理想”概念，长期未能定出与阿廷结合环相平行的阿廷－若尔当环的概念。 D.M.托平引入二次理想概念：如果对若尔当环 A的子环 B的任意元素 b有AU(b)吇B,那么B 称为二次理想。N. 雅各布森 刻画了对二次理想有极小条件的若尔当环，与结合环中的阿廷理论相平行。利用算子U可定义二次若尔当代数,K.麦克里芒作了许多贡献。结合环的 雅各布森根 和莱维茨基根等在若尔当环和交错环中，都有相应的讨论。对交错 代数和 若尔当 代数都有 表示论 的研究。交错环与若尔当环和投射平面有联系。若尔当代数不仅与李代数、 代数群 有着联系，而且对实分析和 复分析 都有应用。 陆长安. 基于算子李代数的子代数结构研究[J/OL]. 山东农业大学学报(自然科学版),2015,46(04):618-620. (2015-07-24)[2017-09-10]. http://kns.cnki.net/kcms/detail/37.1132.s.20150724.1742.004.html ABBA Boubacar,唐孝敏. 主理想整环上对称矩阵的非结合代数自同构(英文)[J]. 数学杂志,2007,(01):10-14. [2017-09-10]. DOI：10.13548/j.sxzz.2007.01.002 王学宽. 一类非结合泛代数的次直积分解[J]. 数学进展,1994,(05):400-404. [2017-09-10]. 刘绍学. 关于一种有限非结合代数[J]. 北京师范大学学报(自然科学版),1957,(02):47-51. [2017-09-10].
 
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