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同伦论
离大谱
有一天我在网上冲浪，遇见一个电磁生命(即以电磁波为载体的生物)，它叫电磁波阿特。我可以与波阿特在网络上打字交流，但因为它是电磁波，没有实体，我不能和它面基。波阿特想去哪儿就去哪儿，但它没有空间想象能力。 [图片] 熟悉之后，波阿特说它非常想知道箭毒蛙是长什么样的，但它还处理不了图片，问我能不能描述给它看。 [图片] 我说可以，然后我建了个三维直角坐标系，把一只箭毒蛙嵌了进去，把它所在的点的坐标尽可能多地都标记了下来，导…
喜爱思考同伦问题
…在爬墙之余
区别是同胚不是连续变化（在「白马非马」的意义下），而是 重命名；同伦才是连续变化，或更精确地说是形变。更玄学和更抽象一点地说，前者是范畴论的思想，后者是高阶范畴论的思想。问题叙述和其它讨论之中多少体现了一些术语的混淆，但不影响问题的核心，即对「同伦」的本质的探讨。下面我将先给出对空间之间的同胚和同伦等价的初等直观的对比，然后尝试稍稍深入到更为meta的高度讨论我自己对同伦的理解。 先说同胚。我个人将同…
喜爱思考同伦问题
…在爬墙之余
在有很多很好很充分的回答之下仍然强答一发，补充一个更「大图景」的观点，虽不一定适合初学者但更符合问题本质。直接回答题主的问题：1) 同调代数不过是链复形范畴上的同伦论；2) 之所以它看似完全脱离拓扑空间，是因为它本不是拓扑空间范畴上的同伦论；3) 之所以它带有拓扑空间的动机，是因为它脱胎于拓扑空间范畴上的同伦论。======长文预警====== 「为什么研究XXXX」的问题通常很难回答，但这个问题偏偏可以看作特例，以「同…
喜爱思考同伦问题
…在爬墙之余
从motivic homotopy theory角度的观点来看，代数K-理论就是一个上同调理论；这就如同从拓扑空间的同伦论来看，拓扑K-理论就是一个上同调理论一般。 笼统地说，代数K-理论是由spectrum给出的，而spectrum在某种意义上是上同调理论的同义词。更具体来说，代数K-理论函子在motivic homotopy category里是可表函子，并且表示这些函子的(motivic)空间组成(motivic) spectrum。 然而这个说法并不公平，因为事实上无需motivic homotopy…
一只蓝白短毛猫，私信请直接说明事由
前面已经有很多解释了，我来补充一些（特别特别）通俗易懂的例子/习题吧。 “中日”两个字同伦等价么？同胚么？ （以下同伦等价简写为同伦。） ——如果你看懂了前面高票答案，你就应该知道，它们不同胚，但是同伦。 如果你只是想直观地知道同伦、同胚、微分同胚是什么，那么： “日、白、百、中、月”中，哪些同伦，哪些同胚？ “日、白、百、中、月”同伦，但是任意两个不同胚 （尤其是“白、百” “月、中”这两对，请想明白…
Algebraic Topology I: 对教材跟概念的一些论述
你究竟来自深渊，还是降自星空？——美的异教徒
关键词：Homotopy, Homology, Groupoid, Foundamental Group, Van Kampen Theorem, Covering Space, Covering Projection, Fibration with unique path lifting, Cofibration. Tammo tom Dieck 在他的代数拓扑教材中写了非常漂亮的前言，在点出代数拓扑精髓的同时还包含一些形而上学的哲思，并且简略地介绍了代数拓扑里面的两个核心词汇，同伦(homotopy) 跟同调 (homology)。我简要地部分翻译如下： 代数拓扑是连续数学跟离散数…
喜爱思考同伦问题
…在爬墙之余
谢邀。 [公式] 代数是「同伦相容数学」(homotopy-coherent mathematics[1])纲领下的一个具体实现，也是这个纲领最早及最知名的两个例子之一（另一个是 [公式] 代数）。引言所谓同伦相容，核心思想在于两点： 将定义数学对象时所涉及的（严格）等式替换成（同伦）等价（甚至是弱等价）；此为同伦。例如对于「集合中的元素相等」，通常把集合实现成某种空间，元素实现成这种空间中的点，然后把「相等」替换成「由路径连接」。最为人熟知的…
主要经营“量子引力，量子基础，人工智能，范畴学，数学物理”。
导出代数几何 是一个纲领性问题，背后是康塞维奇的 光滑化哲学（hidden smooth philosophy）。在导出代数几何里，没有奇异性的概念，everything is smooth。 导出代数几何 相比于代数几何，就相当于 自然数对于复数，是一步很大的跨越，这个跨越叫做光滑化，或者完备化。可以类比下面的口号来想象： 为了求解线性方程，我们需要有理数； 为了解决开方的问题，我们需要无理数； 为了求解极限问题，我们需要实数； 为了求解代数方…
Enumerative geometry
所有同调的核心就是作差，不是什么函子范畴这些abstract nonsense(虽然再其他意义上理解很有用)。同调就是将局部差别纪录下来，既得到一些结构的障碍也得到整体不变量。最为踏实的数学观念。要知道，给一般的一个拓扑空间，研究手段是极为有限的。线性逼近是普通人唯一的想法，因此自然想法是用单形去逼近，然后把局部差别纪录下来。而且，单形有一种由欧拉偶然发现的不变量! 早期Poincaré的同调论把这些差用一大堆线性方程写下…
Quillen的伟大工作:复配边与形式群
在物理系偷偷学数学
1969年，Quillen一篇6页的paper横空出世，震惊世界，从此开启了代数拓扑的新篇章 ON THE FORMAL GROUP LAWS OF UNORIENTED AND COMPLEX COBORDISM THEORY [图片] Quillen揭示了complex oriented cohomology theory和formal group law的深刻对应，并说明了复配边谱 [公式] 上标准定向给出的formal group law恰好是universal formal group law. 后续再由Jack Morava, Doug Ravenel, Haynes Miller, Steve Wilson, Michael Hopkins等人将这套理…