代数几何方向部分介绍
本文主要是汇总了我之前的写的一些回答，包括代数几何入门以及后续的部分方向介绍
目录
- 入门篇
- 进阶篇
- 研究篇
(1)入门篇
代数几何的入门方式有很多种，比如从代数曲线的角度出发(比如Fulton的)或者从概形的语言学起(比如Vakil的notes)，我的看法是最好和交换代数一起学，对比一下交换代数的几何意义，只先学交换代数同调代数很容易迷失或者忘记概念，只有用起来才更有感觉。其实学这些基础还是很花时间精力的，建议第一遍的时候如果时间不够的话，还是先把一些基本概念和定理理解清楚，没必要图学的又快又多，这样到后面反而容易形成一些似是而非的记忆回过头再补也麻烦
具体可以看 https://www. zhihu.com/question/4273 61904/answer/1545552624
(2)进阶篇
学有余力的话可以参考下，其中Weil II的证明里会学到etale cohomology, perverse sheaf以及Fourier-Deligne transform等等工具，而后的Mordell conjecture和Fermat’s last theorem分别涉及了elliptic curve(Mordell theorem)和modular form这样数论方向基本的知识，可以作为学习这个的一个不错的切入点，我这方面懂得很少，就不多讲了
具体可以看 https://www. zhihu.com/question/3182 63266/answer/1562597344
(3)研究篇
• 几何向分为复代数几何和双有理几何两大类，里面也有很多更细的小分支，比如说双有理的核心研究就是利用birational invariant对varieties做classification，我介绍下复代数几何里Hodge theory(复的以及p-adic的)
• 算术向方向分支也很多，主要是围绕Langlands program展开的，我介绍下有关perfectoid space理论的一些介绍，这个来源于p-adic Hodge theory中的Fontaine-Wintenberger theorem的geometric对应物，其中perfectoid algebra的定义的灵感源于这个定理的证明，入门可以看
其中perfectoid space的tilt isomorphism是具有analytic nature的，但是关于perfectoid space我们没办法找到像rigid analytic space的formal model去研究，从而需要换一种方法，出现了adic space的应用，这方面的介绍可以看
更近一步的发展我目前的水平也没办法讲的很好，就随便写了些关于prismatic cohomology的一点点idea，可以说是来源于motivic思想的(universal cohomology theory)