量子力学入门-无次元量
这篇文章我们主要介绍 无次元量
在解表现物理运动的微分方程式时，变量的无次元化是必须的。
接下来，我将逐步介绍什么是 无次元量
第一，什么是 无次元量 ?
无次元量（ 又叫无量纲量，无维数量 ） 简单来说，就是没有单位的常量。（如： \pi，e ）
第二，无次元量有什么作用？
- 减少变量个数。2. 是微分方程式更简洁
第三，次元怎么表示？
我们一般用 [M^{\alpha}L^{\beta}T^{\gamma}] 来表示次元。 M 为质量， L 为长度， T 为时间。
我们看一些常见物理量的次元。
接下来，我们以简谐运动为例，感受一下
哈密顿量为 H=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}mw^{2}x^{2}
经典力学的运动方程为 x''=-w^{2}x
一般解为 x(t)=Asin(wt+\theta_{0}) , E=\frac{1}{2}mw^{2}A^{2}
对应的量子力学的定态薛定谔方程可以写作
化简一下，
把含有长度的变量 x 变为无次元量 \xi ，设 \alpha x=\xi ，代入上述方程
( \phi(x)=\phi(\frac{\xi}{\alpha}) 直接写成 \phi(\xi) 。 \alpha=\sqrt{\frac{mw}{\tilde{h}}} )
这个时候， \lambda，\xi 都是无次元量。
此时，我们再讨论一下无限远处的渐近解
无限远处 \left| x \right|\rightarrow∞ ， \left| \xi \right|\rightarrow∞ ， \xi^{2}\gg\lambda
此时，我们可以把 e^{\pm\frac{1}{2}\xi^{2}} 看作近似解。(证明如下)
又因为 \left| \xi \right|\rightarrow∞ 处，要趋近于0，所以近似解只有 e^{-\frac{1}{2}\xi^{2}}
接下来，我们讨论一下级数解，我们假设正解为 e^{-\frac{1}{2}\xi^{2}} 和未知函数 H(\xi) 的积，代入方程
设 H(\xi)=\sum_{n=0}^{∞}{a_{n}\xi^{n}} ，代入微分方程
要想上面等式有解， \xi^{n} 前系数必须为 0。即 (n+2)(n+1)a_{n+2}=(2n+1-\lambda)a_{n}
当 n\rightarrow∞ 时，我们再激进一点，得到 \frac{a_{n+2}}{a_{n}}\simeq \frac{2}{n}
我们再和 e^{\xi^{2}} 的泰勒展开比较一下
那么问题来了， n\rightarrow∞ ， \phi(\xi)\sim e^{\xi^{2}}e^{-\frac{1}{2}\xi^{2}}=e^{\frac{1}{2}\xi^{2}} （上面说过不能有这个解）
所以，为了不让这种事情发生， 级数 n 只能展开到有限值。
即 (n+2)(n+1)a_{n+2}=(2n+1-\lambda)a_{n}
这里的 \lambda ，便开始对能量本征值有了限制，
同样这里的 n 要分奇，偶两种情况
补充一下，满足方程 H_{n}''-2\xi H_{n}'+2nH_{n}=0 的多项式我们称为 埃尔米特多项式
具体形式如下
注： 埃尔米特多项式 在概率论中有不同的定义，这里只讨论了物理学定义。
这里我们选其中 H_{N}(\xi) , N=2 的时候来具体解一下。
N=2\rightarrow\lambda=5 ，代入渐化式 (n+2)(n+1)a_{n+2}=(2n+1-\lambda)a_{n}
得 (n+2)(n+1)a_{n+2}=2(n-2)a_{n}
往后的 a_{6}=a_{8}=...=0
最后总结一下，能量本征值
归一化的波函数就可以写成高斯函数和埃尔米特多项式的积
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