如果||
f
||
p
= 0，那么
f
在
μ
-几乎处处为零，且乘积
fg
在
μ
-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||
g
||
q
=0也是这样。因此，我们可以假设||
f
||
p
>0且||
g
||
q
>0。
如果||
f
||
p
= ∞或||
g
||
q
=∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设||
f
||
p
和||
g
||
q
位于(0,∞)内。
如果
p
= ∞且
q
= 1，那么几乎处处有|
fg
| ≤ ||
f
||
∞
|g|，不等式就可以从
勒贝格积分
的单调性推出。对于
p
=1和
q
=∞，情况也类似。因此，我们还可以假设
p
,
q
∈ (1,∞)。
分别用
f
和
g
除||
f
||
p
||
g
||
q
，我们可以假设：
我们现在使用杨氏不等式：
对于所有非负的
a
和
b
，当且仅当时
等式成立。
因此：
两边积分，得：.
这便证明了赫尔德不等式。
在
p
∈ (1,∞)和||
f
||
p
= ||
g
||
q
= 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有
。更一般地，如果||
f
||
p
和||
g
||
q
位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在
α
,
β
>0（即
α
= ||
g
||
q
且
β
= ||
f
||
p
），使得：
μ
-几乎处处(*)
||
f
||
p
= 0的情况对应于(*)中的
β
=0。||
g
||
q
=的情况对应于(*)中的
α
=0。
