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约定. 在本文中,
- 所有环都指 交换环 .
交换环 的 Krull 维数 定义简短, 但要证明它表现良好绝非易事. 例如 “ A 上一元多项式环比 A 本身多一维” 这一断言看似十分基本, 但只知 Krull 维数定义者对此必无从下手. 维数理论就是由此类命题及其证明所组成. 换言之, 交换代数中的 维数理论 是交换环维数的基本性质的研究.
1 主要定理与证明
维数理论的主定理是
定理 1.1. 对 Noether 局部环 ( R , m , k ) 及其 有限生成模 M , 以下三数相等:
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• |
M 的维数, 即 Supp ( M ) ⊆ Spec R 的 Krull 维数 , 或者说环 R / Ann ( M ) 的 Krull 维数, 记作 dim M . |
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• |
M 的 Hilbert–Samuel 多项式 χ M 的次数, 记作 d ( M ) . |
|
• |
M 的参数系中元素的最少个数, 即最小的 d , 满足存在 a 1 , … , a d ∈ m 使得 M / ( a 1 , … , a d ) M 有限长 . 将其记作 d ′ ( M ) . |
证明. 商去 Ann ( M ) 不改变任何事情, 故可设 Ann ( M ) = 0 . 我们来证明 dim M ≥ d ′ ( M ) ≥ d ( M ) ≥ dim M .
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dim M ≥ d ′ ( M ) |
对 dim M 归纳. dim M = 0 时 Supp ( M ) = { m } , 从而 M 本身已经有限长, d ′ ( M ) = 0 . 现对 d > 0 , 设 dim M < d 时命题已经成立, 来证明 dim M = d 情形. 为此写出 Supp ( M ) 里的极小素理想 p 1 , … , p n . 注意 结合素理想 的理论保证这的确只有有限个. 用 素理想回避 取出 a ∈ m 不在 p 1 , … , p n 中. 则 Supp ( M / a M ) ⊂ Supp ( M ) , 且不包含 p 1 , … , p n . 故由 Krull 维数 的定义, dim M / a M ≤ dim M − 1 . 于是由归纳假设, d ′ ( M / a M ) ≤ dim M − 1 , 故 d ′ ( M ) ≤ dim M . |
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d ′ ( M ) ≥ d ( M ) |
设 d ′ ( M ) = d , 来证 d ( M ) ≤ d . 依 d ′ ( M ) 的定义取出 a 1 , … , a d ∈ m , 令 I = ( a 1 , … , a d ) . 取 M 的生成元 m 1 , … , m n . 则由 Ann ( M ) = 0 知映射 ( m 1 , … , m n ) : R → M n 是单射. 以此将 R 视为 M n 的子模. 由 Artin–Rees 引理 , 存在 c ∈ N 使得 I ⊇ I c + 1 M n ∩ R , 于是 ℓ R ( R / I ) ≤ ℓ R ( I c + 1 M n ∩ R R ) ≤ ℓ R ( M n / I c + 1 M n ) < ∞ . 这样就有 I = m , 于是 d ( M ) = de g χ M m = de g χ M I . 而 I 由 d 个元素生成, 故由 Hilbert–Samuel 多项式 的性质知 d ( M ) ≤ d . |
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d ( M ) ≥ dim M |
对 d ( M ) 归纳. d ( M ) = 0 无非就是说 M 有限长, 此时自然有 dim M = 0 . 现对 d > 0 , 设 d ( M ) < d 时命题已经成立, 来证明 d ( M ) = d 情形. 首先注意如 0 → M ′ → M → M ′′ → 0 是短正合列, 则 Supp ( M ) = Supp ( M ′ ) ∪ Supp ( M ′′ ) , 故 dim M = max { dim M ′ , dim M ′′ } . 由 Hilbert–Samuel 多项式 的性质亦知 d ( M ) = max { d ( M ′ ) , d ( M ′′ )} . 故命题只要对 M ′ , M ′′ 成立, 也就对 M 成立. 于是由 结合素理想 的理论, 可不妨设 M = R / p , p 为素理想. 又由于一开始的假设 Ann ( M ) = 0 , 知 p = 0 , R 为整环, M = R . 设 0 ⫋ p 1 是 R 的最长素理想链的前两项, 任取非零元 a ∈ p 1 , 作正合列 0 → a R → R → R / a → 0 则 dim R / a = dim R − 1 . 于是只需证 d ( R / a ) < d ( R ) , 这样由归纳假设即得结论. 而由 Hilbert–Samuel 多项式 的性质, 存在 c ∈ N 使得 n ≥ c 时 χ R / a ( n ) ≤ χ R ( n ) − χ a R ( n − c ) ; 而 R 是整环, a R ≅ R , 所以上式推出 de g χ R / a < de g χ R , 即 d ( R / a ) < d ( R ) . |
□
推论 1.2 (与切空间维数关系) . 记号同上. 有 dim R ≤ dim k ( m / m 2 ) , 其中右边的 dim 是线性空间维数. 所以如 Noether 环 A 的每个极大理想都被不超过 d 个元素生成, 则 dim A ≤ d . 特别地, 不是 域 的 主理想整环 的维数是 1 .
证明.
设
d
=
dim
k
(
m
/
m
2
)
, 取
a
1
,
…
,
a
d
∈
m
使其在
m
/
m
2
的像是一组基. 则由
Nakayama 引理
,
(
a
1
,
…
,
a
d
)
=
m
. 所以由定理知
dim
R
≤
d
. 后一句话是因为
dim
A
=
sup
{
dim
A
m
∣
m
是
A
的极大理想
}
.
□
推论 1.3. 对 Noether 环 A , 其上有限生成模 M , 及其元素 a 1 , … , a c , dim M / ( a 1 , … , a c ) M ≥ dim M − c . 适当选取 a 1 , … , a c , 可以取到等号.
证明.
这是因为定理中
dim
M
=
d
′
(
M
)
.
□
推论 1.4. 对 Noether 环 A , dim A = sup { de g ( n ↦ ℓ A ( A / m n )) ∣ m 是 A 的极大理想 } .
证明.
注意左边等于
sup
m
dim
A
m
, 右边等于
sup
m
d
(
A
m
)
, 由定理它们相等.
□
推论 1.5. 对 Noether 环 A , dim A [[ X ]] = dim A + 1 . 于是 dim A [[ X 1 , … , X n ]] = dim A + n .
证明.
由形式幂级数的性质,
X
在
A
[[
X
]]
的
Jacobson 根
中, 即被每个极大理想所包含. 于是由同构定理,
A
[[
X
]]
的极大理想都形如
m
+
X
A
[[
X
]]
, 其中
m
是
A
的极大理想. 由此不难算出
ℓ
A
[[
X
]]
(
A
[[
X
]]
/
(
m
+
X
A
[[
X
]]
)
n
)
=
i
=
1
∑
n
ℓ
A
(
A
/
m
i
)
,
由上一个推论即得结论.
□
定理 1.6 (纤维维数) . 设 f : ( R , m ) → ( S , n ) 是 Noether 局部环 的局部同态. 则 dim S ≤ dim R + dim S / m S , 且在 f 为 平坦同态 时取等.
证明. 记 d = dim R , e = dim S / m S . 取 R 的参数系 a 1 , … , a d , S / m S 的参数系 b ˉ 1 , … , b ˉ e 及其在 S 中的提升 b 1 , … , b e . 则由 ( a 1 , … , a d ) = m , 有 ( a 1 , … , a d ) S ⊇ m S ; 又 ( b ˉ 1 , … , b ˉ e ) = n , 从而 ( a 1 , … , a d , b 1 , … , b e ) = n . 所以 dim S ≤ d + e .
现设
f
平坦, 来证明
dim
S
≥
d
+
e
. 取
S
/
m
S
的最长素理想链, 记其在
S
中原像为
n
=
P
0
⫌
P
1
⫌
⋯
⫌
P
e
.
再取
R
的最长素理想链
m
=
p
0
⫌
p
1
⫌
⋯
⫌
p
d
.
由
P
e
∩
R
=
m
, 用
平坦同态
的素理想下行, 可在
S
中取到素理想链
P
e
=
q
0
⫌
q
1
⫌
⋯
⫌
q
d
,
使得
q
i
∩
R
=
p
i
. 于是在
S
中就有素理想链
n
=
P
0
⫌
P
1
⫌
⋯
⫌
P
e
=
q
0
⫌
q
1
⫌
⋯
⫌
q
d
,
故
dim
S
≥
d
+
e
.
□
注 1.7. 同样的方法可以证明, 如 M 是有限生成 R -模, N 是有限生成 S -模. 则 dim ( M ⊗ R N ) ≤ dim M + dim N / m N , 且当 N 在 R 上 平坦 时取等.
推论 1.8. 对 Noether 环 A , dim A [ X ] = dim A + 1 . 于是 dim A [ X 1 , … , X n ] = dim A + n .
证明.
设
dim
A
=
d
. 取
A
的最长素理想链
p
0
⫋
⋯
⫋
p
d
,
则显然
p
0
A
[
X
]
⫋
⋯
⫋
p
d
A
[
X
]
⫋
p
d
A
[
X
]
+
X
A
[
X
]
是
A
[
X
]
中长度为
d
+
1
的素理想链, 于是
dim
A
≥
d
+
1
. 接下来要对
A
[
X
]
的任一极大理想
n
证明
dim
A
[
X
]
n
≤
d
+
1
. 记
m
=
n
∩
A
,
k
=
A
m
/
m
A
m
. 对同态
A
m
→
A
[
X
]
n
用定理
1.6
得
dim
A
[
X
]
n
≤
dim
A
m
+
dim
k
[
X
]
n
≤
dim
A
+
dim
k
[
X
]
=
d
+
1
,
其中
dim
k
[
X
]
=
1
是因为
k
[
X
]
是主理想整环.
□
证明.
设
A
是域
k
上有限生成的整环,
K
是其分式域. 则由
Noether 正规化
, 存在
d
∈
N
以及
有限
单射
k
[
X
1
,
…
,
X
d
]
→
A
. 则
K
/
k
(
X
1
,
…
,
X
d
)
是
有限扩张
, 由此可得
d
是
K
/
k
的超越次数. 由
整扩张
的性质,
d
也是
A
的维数.
□
2 例子
下面这些例子从另一个方向说明维数理论十分不平凡.
例 2.1. 不局部的 Noether 环维数可以是无穷.
取域 k , 令 A = k [ X 1 , X 2 , … ] 为无穷多个变元的多项式环, P n = ( X n 2 , X n 2 + 1 , … , X n 2 + 2 n ) 为其一列素理想. 令 S 为 ⋃ n = 1 ∞ P n 的补集, 则其为 乘性子集 . 考虑 B = S − 1 A , 则 B 就是无穷维的 Noether 环. 首先注意对每个正整数 n , ( X n 2 ) ⫋ ( X n 2 , X n 2 + 1 ) ⫋ ⋯ ⫋ ( X n 2 , X n 2 + 1 , … , X n 2 + 2 n ) 是 B 中长度为 2 n 的素理想链, 故 dim B = ∞ . 其次对 B 的任一非零素理想 p , 取其非零元然后用多项式环的唯一分解, 不难发现存在正整数 n 使得 p ⊆ P n . 于是 p 对应于 B P n = A P n = k ( X i ) i ∈ / { n 2 , … , n 2 + 2 n } [ X n 2 , … , X n 2 + 2 n ] 的素理想. 由此不难发现 p 为有限生成. 于是 B 的每个素理想都有限生成, 故由 Noether 环 的性质知 B 为 Noether 环.
例 2.2. Noether 整环中可以有两条极长素理想链不等长.
取 离散赋值环 R , 设其素元为 π . 则 dim R [ X ] = dim R + 1 = 2 , 0 ⫋ ( π ) ⫋ ( π , X ) 是一条极长素理想链. 然而 0 ⫋ ( 1 − π X ) 也是一条极长素理想链, 长度只有 1 . 这里由 R [ π − 1 ] 是域知 ( 1 − π X ) 是极大理想.
注 2.3. 上例中的环 R [ X ] 不是局部环. 也有局部环的例子, 但就困难得多. 参见条目 悬链环 .
例 2.4. 对不 Noether 的环 R , 可以有 dim R [ X ] > dim R + 1 .
3 同调不变量
4 相关概念
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维数理论 • 英文 dimension theory • 德文 Dimensiontheorie • 法文 théorie de la dimension