Algebraic Topology 1, by Prof. Will J. Merry - 苏黎世留学生论坛

Horace4036

理论上讲，评价Merry教授的课程已经不重要了，因为他下学期就要离开ETH前往剑桥了（遗憾）…… 但为什么要写这个课程评价呢？一来我觉得这是我表达对Merry教授的尊重的一种方式，二来我认为他的讲义非常值得作为入门代数拓扑的参考资料，所以我也会讲主要篇幅谈论自己对他的讲义的阅读体验和思考。

这里先一句话概括一下Merry教授的授课吧： 他是我见过的讲课最出色的教授之一 。清晰的板书、流畅的思路、美妙的证明，再加上独特的英式幽默，很难让人不沉醉其中！

                                          栩栩如生的蛇引理

但或许也正是他要离开ETH的缘故吧，这学期的代数拓扑1课程节奏比较快：前三周我们用范畴论的观点复习了基本群的知识（Seifert-van Kampen定理），之后用十周的时间一路从奇异同调的基本定义讲到上同调的建立（包括万有系数定理和Künneth公式及其对偶版本），这差不多是另一位代数拓扑教授P. Biran代数拓扑1+2的前7周左右的内容（在加上基本群的回顾）。当然进度如此快的代价就是许多代数的基本知识都被留作了课后练习，或者直接略过，所以对于代数基础不够硬的同学似乎是一种挑战。但幸运的是，我们有充足的复习时间来消化吸收这些内容，在理解、熟练之后相信你一定会为代数拓扑的美妙赞叹不已。

接下来我们主要谈谈Will J. Merry教授的讲义 代数拓扑Ⅰ & 2 吧，详见他的个人主页（这里也有一些他写的其他的课程讲义，比如动力系统、微分几何等等，都是一年的课程讲义）——

https://www.merry.io

（对于这份讲义的评价，原文在我的知乎文章 https://zhuanlan.zhihu.com/p/464774118/ 上，组织一批同学撰写这些文章的目的是为了方便更多的数学系学生选择合适自己的教材阅读，希望他们不会再像我一样走过太多弯路。偷懒起见，请允许我在“Ctrl C + Ctrl V”的基础上仅稍作修改）

在这学期，我修读了Merry教授的代数拓扑Ⅰ。在十三周的时间里，我们从Lecture 1进行到了Lecture 30（讲义总共只有46个lecture！），主要内容涵盖几个方面（括号里的东西是我觉得比较有意思/特色的地方）：

基本群的回顾 （以范畴的语言重述并证明了Seifert-van Kempen定理）
奇异同调 （包括对映射度三种定义等价性的讨论、（滤过）余极限、Jordan-Brouwer分离定理和它们在微分几何中的应用，诸如Borsuk-Ulam定理和Invariance of Domain定理等等）
胞腔同调 （包括相对同胚定理、cell-like filtration的引入和Cellular Boundary Formula等等）
公理同调论 （包括同调代数中的比较定理、Eilenberg-Steenrod公理、弱形式的唯一性定理的证明和Acyclic Models定理）
上同调初步 （包括对函子 $-\otimes B$ 和 $\text{Hom}(-,A)$ 的讨论及Tor和Ext的基本性质、万有系数定理、Eilenberg-Zilber定理、代数/拓扑Künneth定理和它们对应的上同调版本）

因为考试，我（不得不）将这份讲义的前29个Lecture和习题来来回回翻了不少遍，给我留下印象最深的地方就是 清晰易读 和 简洁干净 ，许多定理/命题的 证明非常漂亮 。Merry教授上课的讲解更是利用不同颜色的板书等技巧让证明一目了然，例如Cellular Boundary Formula的证明：

                                   Cellular Boundary Formula的证明

其次，讲义中的一些说 明性的文字 也令人茅塞顿开，例如在介绍Steenrod-Eilenberg公理之后的一个附注里，Merry教授提到：胞腔复形的重要性之一体现在如下结果之中——**任何空间都弱同伦等价于一个胞腔复形。**实际上，我们有一个胞腔逼近函子： $\Gamma:\text{Top} \rightarrow \text{Cell}$ ，其中 $I:\text{Cell} \rightarrow \text{Top}$ ，使得 $\Phi(X): \Gamma(X)\rightarrow X$ 为弱同伦等价，从而胞腔同调 $\text{H}_{\bullet}^{\text{cell}}\circ \Gamma$ 构成一个公理同调理论。

第三，讲义介绍了一些 代数拓扑与微分拓扑等领域的联系 。例如，在讲义的开篇，我们就是以Brouwer不动点定理的代数拓扑证明这一例子来引入代数拓扑这一学科的，而Merry也简述了这一结果的微分拓扑的证明；在介绍映射度的小节中，我们证明了Hairy Ball定理，得到了“奇映射的映射度为奇数”，从而“若群 $G$ 自由作用在 $S^{2n}$ 上，那么 $G \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 或 $G$ 平凡”；而在作业题中我们更是要利用映射度的性质完成Borsuk-Ulam定理和Lusternik-Schnirelmann定理的证明……

总而言之，我认为这是一份入门代数拓扑的极佳讲义：Merry教授 将范畴论的观点循序渐进地融入代数拓扑 ，在讲义正文与作业题中又 引导我们探索发现各种代数构造的性质 （如群的自由积的万有性质、短正合列分裂性的等价刻画、函子Tor和Ext的性质等等）、 几何应用 ，使得 这份讲义具有浓厚的代数风味 ，而又不时 点缀着与拓扑几何的雅趣 。

当然，我认为这份讲义也有缺点：

第一， 缺少具体例子的支撑 。讲义中的计算主要是利用Mayer-Vietoris序列展示了n维球的同调如何计算、利用胞腔分解展示了n维实射影空间的同调如何计算等等，作业题往往也更重视在抽象的正合列中完成追图（如三元组的长正合列、Barrat-Whitehead引理），缺少对具体例子的计算，如“挖去圆盘中的两个不交小圆盘，顺时针粘合三个边界圆所得的闭曲面的同调如何计算”？

第二， 对胞腔同调的叙述过于缩略 。在讲义中只是对胞腔同调的拓扑性质进行了简要的概括，将一切证明都留给了读者。而对于给定闭曲面如何寻找胞腔分解、乘积空间的胞腔分解等等这些问题都没有给出答案。

第三， 对于前文熟练度的要求比较高 。对于初学者而言，Mayer-Vietoris序列、二/三元组的正合序列、Excision等等或许接受起来需要一定时间，而Merry讲义中在证明将这些序列运用地非常灵活，再加上不断引用前文证明的各种结果，若是读者不够熟练怕是需要花费些许时间对此细细揣摩。

不过，我相信这些缺点都“瑕不掩瑜”。在复习的过程中，我经历了不少恍然大悟的瞬间，也被代数拓扑中的许多想法和神奇的事实所惊艳，如今回看已觉收获颇丰。

希望对大家有所帮助！