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正定矩阵一定是对称阵吗？
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写一个自认为比较容易理解的思路，为什么正定矩阵要定义在对称矩阵上。
任何一个矩阵 A，可以分裂为 为一个反对称矩阵M + 一个对称矩阵S。
在实数域上，反对称矩阵M的二次型 x^T Mx = 0.
那么如果矩阵A是正定的，自然推导出，它的对称部分S一定是正定的。所以干脆将其直接定义在对称矩阵上。
因此教材上对正定矩阵的定义第一句话往往为，Denote A to be the symmetric n by n matrix, and A is called a positive matrix when....。
匿名用户
是的。
正定矩阵的定义是：
一个矩阵 A 是正定矩阵，如果它对称，且对于任何非零的列向量 z \in \mathbb{F^n} ，都有：
z^{\prime}A z > 0
半正定矩阵的定义相似：
一个对称矩阵 A 是半正定矩阵，如果它对称，且对于任何的列向量 z \in \mathbb{F}^n ，都有：
z^\prime A z \ge 0
注意：
- 以上的 \mathbb{F}^n 既可以是实空间也可以是复空间。
- 在复空间上的正定矩阵，定义中可以省略掉对称条件，因为有定理：如果复空间上的矩阵满足： z^\prime A z \in \mathbb{R} \ \ \forall z \in \mathbb{C}^n ，那么它一定是对称矩阵。
- 正定矩阵也可以等价表示为：对称矩阵+特征值严格大于0。
- 看到一个答案完全没有重视“对称”这个性质，但是对称这个性质是很好的，它可以保证实空间上的（矩阵对应的）算子所在的空间一定有一组由特征向量组成的单位正交基，对于谱分解来说是个好消息。