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Abelian group是什么？
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定义已经有人写了
实际上线性空间的公理只保留加法的公理就是 \rm Abelian\, group 的公理了。
不过他们没举例子
我写点常见的，你熟悉的
比如 \mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C\\ 你熟悉的一切线性空间 V 等等
然后我补充点内容
我们熟知 G 可以视作一个范畴，它的反范畴 G^{op} 也是一个群。
G^{op} 由反转箭头得到，也就是 f\circ^{op} g:=g\circ f
\mathcal D^{op}(G)=G^{op}\\ 当然同时也有 \mathcal D(G^{op})=G\\
显然，对于一般的群而言 G\cong G^{op}\\
因为 \mathcal D^{op} 是函子，自然是群同态，且 \mathcal D\mathcal D^{op}=id_G,\mathcal D^{op}\mathcal D=id_{G^{op}}\\
但 \rm Abelian\,group 是说
\mathcal{Ab=Ab^{op}}\\ 所以同构和严格相等的区别可以有这么大。
如果 G=G^{op} ，那么 G\in \mathrm{Ab}
\mathcal{D^{op}} 的一个例子就是取伴随，或者说矩阵转置。
\mathcal D^{op}(T)=T^*\\ 考虑可逆自伴算子构成的群（当 \mathbb F=\mathbb R 时，这就是实对称矩阵群）
这时候有 \mathcal D^{op}(T)=T\\
(ST)^*=T^*S^*\\ 这就是 \mathcal{D^{op}}(S\circ T)=\mathcal D^{op}(S)\circ^{op}\mathcal D^{op}(T)\\
(答个废话文学) Abelian Group是Z-模，所以PID-模的分类定理已经把Abelian Group的分类给说清楚了。
翻看问题日志发现是十年多前的问题，不知提问者如今已经有多少收获了。