|
|
什么是流形？
关注者
238
被浏览
417,957
12 个回答
流形就是一块弯曲的橡皮擦。
流形就是一块弯曲的N维空间的橡皮擦，橡皮擦的每一颗原子的位置可以用N个实数描述，这些实数叫做这原子的座标。
流形就是弯曲的 N实数描述的 点集合，一点的位置可以用N个实数描述，两点间的距离有定义。
流形就是弯曲的 N实数描述的 点集合，两点间的距离有定义：邻近的两点，其距离是 座标差的平方 再相加 再开根号。遥远的两点求其距离，需先在中途铺设多点形成路径，以点点相连为路径长，取最短的路径长定义为距离。
此时回想，弯曲是相对于某刚直座标系。若无刚直座标系，则弯曲两字无定义，不如丢弃弯曲这形容词，纯以距离描述两点远近，解算足矣。不需刚直，是为流形。下图是半个球形和五个流形。
若挤压，拉扯，扭曲这橡皮，则各原子的距离发生了变动。若各原子各有温度，问扭曲橡皮后各温度发生了什么变化？这就需要找到描述温度的方程式，这方程和原子的距离分布有牵连，扭曲橡皮会改变方程，大部份的扭曲使方程变复杂，恰当的扭曲使方程变简单，于是可以解算。
--- --- 以下关于降维 --- ---
有一个点集合，每个点都用10个实数描述，很费笔墨，可以改变座标轴，让每一个点只用9个实数描述吗，如果可以，就叫做降到9维。 一个点集合，最低可以降到几维呢?
方法1：选一点， 关注它附近的100个邻点，若这些点用9个实数当座标就足以表示出这点较近，那点较远，我们就说这些点可以降到9维。 远处再选1点，关注其邻点，再操作降维一次。如此多次后，原集合分解成多个子集合并且每一个都降维，我们就说原集合可以降到9维。
方法二：专心看一个点，关注它附近N个邻点，用一条折线串起这N个邻点，得折线长。 改良串接方式，使折线长度尽量尽量低，叫做L，發現L是N的函数：
L = 系数 * N**a ，
若 a=1/2 我们就知道 最低可降到2维，
若 a=1/3 我们就知道 最低可降到3维。
这方法告诉你一定可以降到某维度，但无法告诉你該如何转换座标以降到那維度。
流形(Manifold)是局部具有欧式空间性质的空间，包括各种纬度的曲线曲面，例如球体、弯曲的平面等。流形的局部和欧式空间是同构的。流形学习假设所处理的数据点分布在嵌入于外维欧式空间的一个潜在的流形体上，或者说这些数据点可以构成这样一个潜在的流形体。
流形是线性子空间的一种非线性推广。
拓扑学角度：局部区域线性，与低纬欧式空间拓扑同胚(连续的变换最后都能变成一样的两个物体，成为同胚，Homeomorphism)。
微分几何角度：有重叠chart的光滑过渡(把流体的任何一个微小的局部看作是欧几里德空间，称为一个chart)。
黎曼流形就是以光滑的方式在每一点的切空间上指定了欧式内积的微分流形。