傅里叶级数系数求解

对于周期为 \(T\) 的函数 \(f(t)\) ，首先进行一步变换，将周期变成 \(2\pi\) 。令 \(z=\frac{2\pi t}{T}\) ，则 \(f(t)\) 可写成 \[ F(z)=\frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nz+b_n \sin nz ) \] （其实就是将 \(f(t)\) 公式中 \(\frac{2\pi t}{T}\) 统一写成 \(z\) ，这时式子是关于 \(z\) 的函数，所以写成 \(F(z)\) ，实际上 \(F(\frac{2\pi t}{T})=f(t)\) 。）

第一步，两侧同时在 \([-\pi, \pi]\) 区间上积分，由三角函数系正交性质可消去0项，得到 \(a_0\) \[ a_0=\frac1\pi \int_{-\pi}^\pi F(z)\mathrm{d}z \] 第二步，两侧同时乘 \(\cos nz\) ，再积分可得 \[ a_n=\frac1\pi \int_{-\pi}^\pi F(z)\cos nz \mathrm{d}z \] 第三步，两侧同时乘 \(\sin nz\) ，再积分可得 \[ b_n=\frac1\pi \int_{-\pi}^\pi F(z)\sin nz \mathrm{d}z

其中第一步可以统一到第二步里，再将 \(z\) 换成 \(\frac{2\pi t}{T}\) 可得

有了 \(a_n\) 和 \(b_n\) ，就可以计算振幅 \(A_n\) 和初相 \(\varphi_n\) ，我们就完成了 \(f(t)\) 的分解。

傅里叶级数的复数形式

如果有两个周期函数 \(f(t)\) 和 \(g(t)\) ，要在傅里叶级数下计算二者的乘积，上面的展开方式就比较难算，要用各种积化和差公式推导，此时我们可以将傅里叶级数写成复数形式，利用欧拉公式 \[ e^{ix}=\cos x+i \sin x \] 我们的目的是将式 \((3)\) 中的正弦余弦项都换成 \(e^{ix}\) 形式。由欧拉公式可知 \[ \begin{align} \cos x &= \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\\ \sin x &= \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}=-\frac{i}{2}(e^{ix} - e^{-ix}) \end{align} \] 因此式 \((3)\) 可写成 \[ \begin{align} f(t)&=\frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^\infty \left[a_n \cos \frac{2\pi nt}{T}+b_n \sin\frac{2\pi nt}{T}\right] \\ &=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[ \frac{a_n}{2} (e^{i\frac{2\pi nt}{T}}+e^{-i\frac{2\pi nt}{T}}) -\frac{ib_n}{2} (e^{i\frac{2\pi nt}{T}}-e^{-i\frac{2\pi nt}{T}}) \right]\\ &=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[ (\frac{a_n}{2}-\frac{b_n}{2}i) e^{i\frac{2\pi nt}{T}} +(\frac{a_n}{2}+\frac{b_n}{2}i) e^{-i\frac{2\pi nt}{T}} \right]\\ &=c_0 +\sum_{n=1}^\infty \left[ c_n e^{i\frac{2\pi nt}{T}} +c_{-n} e^{-i\frac{2\pi nt}{T}} \right]\tag{4}\\ \end{align} \] 其中 \[ \begin{align} &c_0=\frac{a_0}{2}=\frac{1}{T} \int_{-\frac T2}^{\frac T2} f(t) \mathrm{d}t\\ &\begin{split} c_n=\frac{a_n-i b_n}{2}&= \frac{1}{T} \int_{-\frac T2}^{\frac T2} f(t) \left( \cos \frac{2n\pi t}{T} -i\sin \frac{2n\pi t}{T}\right) \mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{T} \int_{-\frac T2}^{\frac T2} f(t) e^{-i\frac{2n\pi t}{T}} \mathrm{d}t , \quad n=1, 2, 3, \cdots \end{split}\\ &\begin{split} c_{-n}=\frac{a_n+i b_n}{2}&= \frac{1}{T} \int_{-\frac T2}^{\frac T2} f(t) \left( \cos \frac{2n\pi t}{T} +i\sin \frac{2n\pi t}{T}\right) \mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{T} \int_{-\frac T2}^{\frac T2} f(t) e^{i\frac{2n\pi t}{T}} \mathrm{d}t , \quad n=1, 2, 3, \cdots \end{split}\\\tag{5} \end{align} \] 进一步统一、简化 \[ f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{i\frac{2n\pi t}{T}} \tag{6} \] 其中 \[ c_n=\frac{1}{T} \int_{-\frac T2}^{\frac T2} f(t) e^{-i\frac{2n\pi t}{T}} \mathrm{d}t , \quad n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots \tag{7} \] 现在，满足一定条件的周期函数 \(f(t)\) 都可以表示成 \((6)\) 式形式。回到本节最开始的问题，如果两个函数相乘，用级数来计算，则 \((6)\) 式这种形式用指数来成显然方便得多。

如果直接看 \((6)\) 式可能会有疑惑， \(e\) 项展开后是复数形式， \(c_n\) 也是复数，而 \(f(t)\) 是实数，这说明相乘相加后虚部全都消掉了。确实如此，推导的话其实就是 \((4)\) 式的逆过程；关键点在于， \(n\) 取正负对称位置放在一起，可以将虚部消掉。

同时 \((6)\) 式表明，在周期 \(T\) 已知的情况下， \(e^{i\frac{2n\pi t}{T}}\) 的形式固定，则 \(f(t)\) 中全部的信息可以由序列 \(\{c_n\}\) 表示。 \(f(t)\) 和 \(\{c_n\}\) 的信息等同

上面是从代数推导的角度看待等同性，下面我们通过波的叠加来看待 \(\{c_n\}\) 对 \(f(t)\) 的表示。此处为了方便理解，暂且将一对 \((e^{i\frac{2n\pi t}{T}},e^{-i\frac{2n\pi t}{T}})\) 看做一个周期为 \(\frac{T}{n}\) 的波，要确定这个波的具体形态，还需要振幅 \(A_n\) 和初相 \(\varphi_n\) 两个要素，这两个要素可以由 \(\{c_n,c_{-n}\}\) 计算得到。先说结论（注意到 \(c_n\) 是复数，且 \(c_n\) 与 \(c_{-n}\) 共轭，即模长相等，关于实轴对称）

证明之前将 \((2)\) 式列在这里 \[ \begin{align} A_n&\sin(nwt+\varphi_n)=a_n\cos(nwt)+b_n\sin(nwt) \tag{2}\\ &a_n=A_n\sin\varphi_n \qquad b_n=A_n \cos\varphi_n \tag{8} \end{align} \] 振幅的证明

初相的证明

这里证明可能不够严谨，下一节可以看到更合适的解释。这里只是想大概建立起 \(c_n\) 与振幅初相之间的关系，这样就可以通过复数形式的傅里叶级数确定一系列正弦波，这些正弦波的叠加就是原函数。

傅里叶级数与圆周运动

正弦波 \(f(t)=\sin t\) 可以看做，圆周运动随着时间的流逝，记录下纵轴的值；多个正弦波的叠加则可以看做大圆套小圆转动，如下图所示，图片来自 wiki ，此外还有一个类似的 动图

同样的信息，在时域上表现为右侧的周期函数，在频域上表现为左侧固定的圆周运动。

我们经常看到画频谱图的，其实就是振幅-频率图；相位图就是初相-频率图。

上面介绍了 \(A_n\sin(nwt+\varphi_n)\) 这种形式的波如何通过圆周运动勾勒出 \(f(t)\) ，下面我们要基于复数形式的傅里叶级数来勾勒 \(f(t)\) 。首先从欧拉公式说起 \[ e^{it}=\cos t+i \sin t \] 将 \(e^{it}\) 的值看做在复平面上描点，横轴是实数轴，坐标为 \(\cos t\) ；纵轴是虚数轴，坐标为 \(\sin t\) 。则随着时间 \(t\) 的增大，描点轨迹就是在做逆时针圆周运动，而 \(e^{-it}\) 则是在做顺时针圆周运动。把 \((4)\) 式搬过来 \[ f(t)=c_0 +\sum_{n=1}^\infty \left[ c_n e^{i\frac{2\pi nt}{T}} +c_{-n} e^{-i\frac{2\pi nt}{T}} \right] \] 对每个 \(n\) 来说，两部分在复平面上做圆周运动， \(c_n\) 是个复数可以画在复平面内，则 \(c_n e^{i\frac{2\pi nt}{T}}+c_{-n} e^{-i\frac{2\pi nt}{T}}\) 表示

考虑到 \(c_n\) 与 \(c_{-n}\) 共轭，因此模长相等，即它们运动半径相同；初始位置关于实轴对称，又做反方向运动，因此二者的加和会将虚数部分抵消，所以加和后的向量可以用一个实数表示。实数部分其实就是考虑 \(\cos\) ，因此圆周运动过程中，记录下余弦值，画出余弦值与时间的关系，就得到了一个波。这里与上一节对应一下

每个 \(n\) 可以得到一个波，叠加后可得到 \(f(t)\) 。或者这样做：每个 \(n\) 下都有2个点，分别用向量表示，所有 \(2n\) 个向量相加；每个时间 \(t\) 下相加得到的总是一个在实轴上的向量，记录下这个向量的值就能勾勒出 \(f(t)\) 的曲线。向量相加的过程就像下面这张图，图片来自 wiki ，这张图中两个向量频率相同，频率不同的动图可以见 马同学

其实仔细想一想，向量相加和大圆套小圆的过程其实是一样的，二者分别对应傅里叶级数复数形式与实数形式的圆周运动解释。

其实大圆套小圆不仅可以画波，而且可以画出许多复杂的图像，比如 画辛普森 。画波与画图像的区别在于，波是时间的函数，一个时间对应一个值；而图像是一个时间对应一个二维坐标，将画纸看做复平面的话，图像也可以是时间的函数，只不过函数值是复数，由实部和虚部两部分构成；更进一步，波其实是虚部为0，如果看做点在复平面内的运动，就是在实数轴上来回摆动，我们只是加了一个时间轴，它画出的结果才是波的形式。因此，任意给定一个图形，如何计算它是由什么样的圆、如何运动绘制而成呢？只要取一些点，写出 \(f(t)\) 的形式，然后用公式 \((7 )\) 计算 \(c_n\) ，再转化为相位和振幅即可； \(f(t)\) 是一个周期函数，或者是一个定义在有限区间的非周期函数。用套圆画图可以在 这个网站 中体验，你绘制一个图形，它会自动为你转化为大圆套小圆的形式。

傅里叶变换

非周期函数

非周期函数可以看做周期为无穷大的函数，下面我们考虑傅里叶级数周期增大，直至无穷会发生什么。

首先回顾周期函数的傅里叶级数展开 \[ f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{i\frac{2n\pi x}{T}} \tag{6} c_n=\frac{1}{T} \int_{-\frac T2}^{\frac T2} f(t) e^{-i\frac{2n\pi t}{T}} \mathrm{d}t , \quad n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots \tag{7}

式 \((6)\) 是时域下的表示，式 \((7)\) 是频域下的表示，傅里叶级数分解是时域向频域的转化；频域中以频率为自变量，此时频率取离散值， \(\frac{n}{T},n=0,1,2,\cdots\) 。可以看到，随着周期 \(T\) 的增大，频率的取值逐渐密集，可以想象，当周期趋近于无穷，频率将取连续值，此时式 \((6)\) 将不再是求和而是积分，这就是非周期函数的情形。将非周期函数时域向频域的转化，就对应傅里叶变换，下面我们写出傅里叶变换相关公式 \[ \begin{align} \text{傅里叶逆变换：}\qquad&f(x)=\int_{-\infty}^\infty F(w)e^{iwx} \mathrm{d}w\tag{9}\\ \text{傅里叶变换：}\qquad&F(w)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-iwt}\mathrm{d}t\tag{10} \end{align} \] 注意如下几点

对比后会发现如果给定 \(f(t)\) ，按照上面不同公式进行傅里叶变换， \(F(w)\) 的结果不一致，差一个常数项；这不影响本质，因为傅里叶变换与逆变换公式是成对出现的，变换后如果想通过逆变换还原原来的 \(f(t)\) ，必须使用相应的逆变换形式。

从频域图像的角度，非周期函数的频域图像，并不是将周期函数的图像不断密集取点，最后变成连续。从公式来说，式 \((10)\) 并不是由式 \((7)\) 简单取极限就可以得到。周期函数对应离散谱，非周期函数对应连续谱，二者有本质的区别。这有点像离散随机变量的概率分布，与连续随机变量密度函数的区别。离散谱取离散值，看柱子高度；而连续谱取连续值，看区域面积，而对于每个具体的点，面积都是0。

下面举一个例子，将矩形波从周期变换到非周期，对比公式直接取极限，与傅里叶变换之间的区别。

先以简单的方波为例， \(f(x)\) 周期为 \(T\) ，一个周期内的函数形式如下所示

由式 \((7)\) 可以计算出

由于 \(f(x)\) 是偶函数，所以 \(c_n\) 的虚部为0。下面我们要将周期增大到无穷，注意，如果我们直接令 \(T \rightarrow \infty\) ，可以看到 \(c_n\) 的结果并没有发生改变，因为这样增大周期结果还是一个方波，一直都还是周期函数；方波就是一个周期中取 \(1\) 的部分占比为 \(50\%\) 。我们增加周期要只增加 \(0\) 的部分，这样不断增加下去的结果是，只有 \([-\frac{T}{4},\frac{T}{4}]\) 区间内取值为 \(1\) ，其他区间为 \(0\) ，这就是一个非周期函数。一个周期为 \(kT\) 的函数定义如下 \[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cl} 1,& \quad -\frac{T}{4}\leq x\leq \frac{T}{4}\\ 0,& \quad \frac{T}{4} < x\leq \frac{3T}{4}+(k-1)T\\ \end{array} \right. \] 由式 \((7)\) 可以计算出 \[ c_n=\frac{1}{2k} \frac{\sin(\frac{n\pi}{2k})}{\frac{n\pi}{2k}}=\frac{1}{2k} \mathrm{sinc}(\frac{n}{2k}) \] 已知 \(x\rightarrow 0\) 时， \(\mathrm{sinc}(x)\rightarrow 1\) ，因此随着 \(k\) 的不断增大，柱子高度整体是逐渐减小的，当 \(k\rightarrow \infty\) ，柱子高度将趋近于0。下面这张图展示了随着周期不断增大， \(c_n\) 随频率变化的图像

这种趋于0的效果，就像离散随机变量，随着定义域的扩大，可取的点原来越多，但每个点的取到的概率也会越来越小，取值为连续区间时，具体每个点的概率都为0；此时衡量单个点的概率就没有意义了，需要衡量的是区间的概率，画图也不画概率分布图了，而是画概率密度图。上面的离散谱（又称线谱）与概率分布类似，而傅里叶变换对应的连续谱（又称密度频谱）与概率密度类似。

对于只有 \([-\frac{T}{4},\frac{T}{4}]\) 区间内取值为 \(1\) ，其他区间为 \(0\) 的非周期函数，我们可以由式 \((12)\) 推导出频域下的密度表达 \[ F(v)=\frac{T}{2} \mathrm{sinc}(\frac{vT}{2})

傅里叶变换后的结果一般是虚数，这里因为 \(f(x)\) 是偶函数，所以虚部为0。

从式 \((6,7)\) 出发，将 \(c_n\) 形式带入式 \((6)\) ，对周期取极限得 \[ \begin{align} f(x)&=\lim_{T\rightarrow\infty} \sum_{n=-\infty}^\infty \left[\frac{1}{T} \int_{-\frac T2}^{\frac T2} f(t) e^{-i\frac{2n\pi t}{T}} \mathrm{d}t\right] e^{i\frac{2n\pi x}{T}} \\ &=\lim_{T\rightarrow\infty} \sum_{n=-\infty}^\infty \left[\frac{1}{T} \int_{-\frac T2}^{\frac T2} f(t) e^{i\frac{2n\pi }{T}(x-t)} \mathrm{d}t\right] \end{align} \] 令 \(w_n=\frac{2n\pi}{T}\) ，则 \(\Delta w=w_n-w_{n-1}=\frac{2\pi}{T}\) \[ \begin{align} f(x)&=\lim_{T\rightarrow\infty} \sum_{n=-\infty}^\infty \left[\frac{1}{2\pi}\Delta w \int_{-\frac T2}^{\frac T2} f(t) e^{iw_n(x-t)} \mathrm{d}t\right] \\ &=\lim_{T\rightarrow\infty} \sum_{n=-\infty}^\infty \left[\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{iw_n(x-t)} \mathrm{d}t\right]\Delta w \end{align} \] 当 \(T\rightarrow\infty\) ， \(\Delta w \rightarrow 0\) ，所以有 \[ \begin{align} f(x)&=\int_{-\infty}^\infty \left[\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{iw(x-t)} \mathrm{d}t\right]\mathrm{d} w \\ &=\int_{-\infty}^\infty \left[\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-iwt} \mathrm{d}t\right] e^{iwx}\mathrm{d} w \end{align} \] 令 \(F(w)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-iwt}\mathrm{d}t\) ，则有 \[ f(x)=\int_{-\infty}^\infty F(w)e^{iwx} \mathrm{d}w

将傅里叶变换扩展到周期函数，则统一了周期函数与非周期函数的变换方式，之后傅里叶变换的性质可以对任意函数都成立。周期函数的频谱是离散的，只在特定的一些频率点不为0；而傅里叶变换是在求频谱密度，关注的是面积；所以需要定义一个冲激函数 \(\delta(x)\) ，定义如下

周期函数的傅里叶变换就是多个冲激函数的加和（其实就是将离散的位置变成冲激函数）。公式如下所示，其中 \(f(x)\) 是一个周期函数

其中 \(c_n=\frac{1}{T} \int_{-\frac T2}^{\frac T2} f(t) e^{-i2n\pi v_0 t } \mathrm{d}t, \quad n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots\) ， \(v_0=\frac{1}{T}\) 。

上面公式的推导只是将式 \((6)\) 带入式 \((12)\) ，然后利用冲激函数的一个计算性质 \[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i2\pi t(v-nv_0)}\mathrm{d}t =\delta(v-nv_0) \] 因为这个式子相当于对 \(f(t)=e^{i2n\pi v_0t}\) 做傅里叶变换，这是个周期函数，它的傅里叶级数展开就是在离散的 \(nv_0\) 处有 \(c_n=1\) ，用冲激函数表达相同的含义就如右式。所有周期函数用傅里叶级数展开都可以表示成 \(f(t)=e^{i2n\pi v_0t}\) 的加和，因此傅里叶变换都就是冲激函数的加和。

冲激函数的另一性质：任何函数与冲激函数做卷积，得到本身 \[ f(t)* \delta(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \delta(t-\tau) d \tau=f(t) \] 因为 \(\delta(t-\tau)\) 只有在 \(\tau=t\) 时不为0，所以 \[ \begin{align} f(t)* \delta(t)&=\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \delta(t-\tau) d \tau\\ &= f(t)\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-\tau) d \tau\\ &=f(t) \end{align}

傅里叶变换的性质、离散傅里叶、应用、参考资料请见 下一篇 。