凡含有参数,未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程,称为微分方程,有时简称为方程, 未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程,未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程 . 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶 .定义式如下： F(x, y, y¢, ., y(n)) = 0

如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程叫做常微分方程,也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数,或者说如果未知函数和几个变量有关,而且方程中出现未知函数对几个变量的导数,那么这种微分方程就是偏微分方程.

常微分方程,描述的是一个量随一个自变量变化的规律,如位置随时间的变化规律.偏微分方程组,描述的是一个量随着2个或更多自变量变化的规律.比如温度随着时间位置的变化.这样就需要4个（分别是时间,和三个空间维度）

常微分方程是求带有导数的方程,比如说y'+4y-2=0这样子的,偏微分方程是解决带有偏导数的方程 .常微分方程比较简单,只是研究带有导数的方程、方程组之类的通解、特解,现实生活中的很多问题与常微分方程有关系,所以研究起来很有必要.但是对于很多高尖端的问题都是偏微分方程,比如很多著名的物理方程：热传导方程、拉普拉斯方程等等,这就是的偏微分方程很难,它不仅仅是研究方程解的一门学科,因为有些方程很难,根本就求不出解,或者常规方法求解十分困难,所以偏微分方程还着重研究解的分布、状态等等.

定义2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数,都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同,且任意常数之间不能合并,则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解,称为方程的特解.

一般地说,n 阶微分方程的解含有 n个任意常数.也就是说,微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数相同,这种解叫做微分方程的通解.通解构成一个函数族.

如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来,那么求这种解的问题叫做定解问题,对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解. 对于高阶微分方程可以引入新的未知函数,把它化为多个一阶微分方程组.

常微分方程
常微分方程的概念、解法、和其它理论很多,比如,方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等.下面就方程解的有关几点简述一下,以了解常微分方程的特点.

求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标,一旦求出通解的表达式,就容易从中得到问题所需要的特解 .也可以由通解的表达式,了解对某些参数的依赖情况,便于参数取值适宜,使它对应的解具有所需要的性能,还有助于进行关于解的其他研究.

后来的发展表明,能够求出通解的情况不多,在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解.当然,通解是有助于研究解的属性的,但是人们已把研究重点转移到定解问题上来.

一个常微分方程是不是有特解呢?如果有,又有几个呢?这是微分方程论中一个基本的问题,数学家把它归纳成基本定理,叫做存在和唯一性定理.因为如果没有解,而我们要去求解,那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的,那又不好确定.因此, 存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的 .

大部分的常微分方程求不出精确的解,而只能得到近似解.当然,这个近似解的精确程度是比较高的.另外还应该指出,用来描述物理过程的微分方程,以及由试验测定的初始条件也是近似的,这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决.

常微分方程实例
下下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均为未知函数).

(1) y'= kx, k 为常数； 　　(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0； 　　(3) mv(t) = mg - kv(t)；