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二重积分是
二元函数
在空间上的
积分
，同
定积分
类似，是某种特定形式的和的
极限
。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在
高维空间
中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。
二重积分是多元函数微积分学应用的一个主要内容，是在解决实际问题的实践中不断抽象出来的，是一元函数定积分、多元函数曲线积分的推广。
[3]
其概念与性质在物理学、力学、工程以及金融等学科领域都有广泛应用。
[4]
- 中文名
- 二重积分
- 外文名
- double integral
- 性 质
- 数学术语
- 计算方法
- 化为二次积分
- 本 质
- 曲顶柱体体积
- 应用学科
- 数学
定义
播报
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设
二元函数
z=f（x，y）定义在有界
闭区域
D上，将区域D任意分成n个子域
，并以
表示第
个子域的面积。在
上任取一点
作和
。如果当各个子域的直径中的最大值
趋于零时，此和式的极限存在，且该极限值与区域D的分法及
的取法无关，则称此极限为函数
在区域
上的二重积分，记为
，即
。
这时，称
在
上可积，其中
称被积函数，
称为被积表达式，
称为面积元素，
称为积分区域，
称为二重积分号。
性质
播报
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积分的线性性质
性质1
（积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即
性质2
（积分满足数乘） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即
比较性
性质3
如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y)，则
估值性
性质4
设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，
则
性质5
如果在有界闭区域D上f(x,y)=k（k为常数)，σ为D的面积，则Sσ=k∫∫dσ=kσ。
[2]
二重积分中值定理
设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得
意义
播报
编辑
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。
当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。
[2]
几何意义
在
空间直角坐标系
中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
例如二重积分
,其中
，表示的是以上半球面为顶，半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体，这个二重积分即为半球体的体积
。
[2]
数值意义
二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。
如函数
，其积分区域D是由
所围成的区域。
其中二重积分是一个常数，不妨设它为A。对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。
[2]
故这个函数的具体表达式为：f（x，y）=xy+1/8，等式的右边就是二重积分数值为A，而等式最左边根据
性质5
，可化为常数A乘上积分区域的面积1/3，将含有二重积分的等式可化为未知数A来求解。
[1]
直角坐标系中
播报
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当f(x,y)在区域D上可积时，其积分值与分割方法无关，可选用平行于坐标轴的两组直线来分割D，这时每个小区域的面积Δσ=Δx·Δy，因此在
直角坐标系
下，面积元素dσ=dxdy，从而二重积分可以表示为
由此可以看出二重积分的值是被积函数和积分区域共同确定的。将上述二重积分化成两次定积分的计算，称之为：化二重积分为
二次积分
或
累次积分
。
[1]
X型区域
X型区域
特点：穿过D内部且平行于y轴的直线，与D的边界交点数不多于两点。
如左图，对任意取定的x
0∈
[a，b]，过点（x
0
，0，0）作垂直于x轴的平面x=x
0，
该平面与曲顶柱体相交所得截面是以区间
为底，z=f（x
0，
y)为曲边的曲边梯形，由于x
0
的任意性，这一截面的面积为
，其中y是积分变量在积分过程中视x为常数。上述曲顶柱体可看成平行截面面积S（x）从a到b求定积分的体积，从而得到
[2]
：
Y型区域
Y型区域
特点：穿过D内部且平行于x轴的直线，与D的边界交点数不多于两点。
称D为Y型区域，此时可采用先对x，后对y积分的积分次序，将二重定积分化为累次积分
[2]
：
在极坐标中
播报
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在直角坐标系xOy中，取原点为极坐标的极点，取正x轴为极轴，则点P的直角坐标系（x，y）与极坐标轴（r，θ）之间有关系式：
在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D，设Δσ就是r到r+dr和从θ到θ+dθ的小区域，其面积为
，可得到二重积分在极坐标下的表达式：
