Cauchy-Schwarz不等式（柯西-施瓦茨不等式）
这是在练习积分证明题时，遇到一个非常有意思的不等式: (\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx)^2\leq\int_{a}^{b}f^2(x)dx\int_{a}^{b}g^2(x)dx\\ 查阅了一下发现是个蛮有名的不等式的某种变形，叫做Cauchy-Schwarz不等式。
主流的证明思路是构造函数，但是先抛开这种带点技巧的运算型证明，从定积分的定义出发，看看能分析到什么。
1.积分形式与一般形式的联系
根据定积分定义，原不等式可以等价为：
(\lim_{\lambda_i \rightarrow 0}{\sum_{i=1}^{n_i}{f(x_i)g(x_i)\Delta x_i}})^2\leq\lim_{\lambda_j \rightarrow 0}{\sum_{j=1}^{n_j}{f^2(x_j)\Delta x_j}}\cdot\lim_{\lambda_k \rightarrow 0}{\sum_{k=1}^{n_k}{g^2(x_k)\Delta x_k}}\\
首先三个定积分都是 黎曼可积的 ，所以极限都存在，能运用极限的四则运算法则；其次，这里和式极限 与区间内的分法无关 ，不妨设三个定积分在区间 [a,b] 上都为 n 等分法，则有 i=j=k ， \Delta x_i=\frac{b-a}{n} 。那么逐步整理后，不等式又可以写为:
\lim_{\lambda \rightarrow 0}{[(\sum_{i=1}^{n}{f(x_i)g(x_i)})^2}-{\sum_{i=1}^{n}{f^2(x_i)}}\cdot{\sum_{i=1}^{n}{g^2(x_i)}}](\Delta x_i)^2\leq0\\ 由极限的保号性可知，这里即为要证 :
{(\sum_{i=1}^{n}{f(x_i)g(x_i)})^2}-{\sum_{i=1}^{n}{f^2(x_i)}}\cdot{\sum_{i=1}^{n}{g^2(x_i)}}\leq0\\ 令 f(x_i)=a_i,g(x_i)=b_i ，则有要证：
{(\sum_{i=1}^{n}{a_ib_i})^2}\leq{\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}}\cdot{\sum_{i=1}^{n}{b_i^2}} \\ 这就是 Cauchy-Schwarz不等式 最常见的一般形式了(大多数时候直接百度搜索该不等式得到的都是这种形式)。
所以证明一般形式成立，在 f^2(x)、g^2(x)、f(x)g(x) 都可积的情况下，就能证明其积分形式成立。
2.构造函数法证明积分形式不等式
如果用构造函数，有三种方法：
- 移项法的常规构造： \varphi(x)=(\int_{a}^{x}f(t)g(t)dt)^2-\int_{a}^{x}f^2(t)dt\cdot\int_{a}^{x}g^2(t)dt ,接着对函数求导分析单调性和最值，找不等式关系。
- 构造 \varphi(x)=[tf(x)-g(x)]^2 ，拆开后两侧分别进行 定积分 ，关于 t 的二次函数的根判别式小于等于 0 ，命题得证。
- 构造二元函数，利用定积分与积分变量的无关性，不等式右侧构造累次积分，化为二元函数的重积分，然后依据积分区域的轮换对称性以及基本不等式，加以证明。
上述前两种构造法，都是通过分析函数的形式联想到的。
第三种是通过不等式右侧，两积分相乘的形式联想到的。
3. Cauchy-Schwarz不等式 一般形式的证明
但是其实和小说里大道三千殊途同归有点类似，这么多花里胡哨的证明，都是同一种命题不同证明技巧的衍生。即 Cauchy-Schwarz不等式 一般形式的证明。
3.1 \mathbb{R^2} 和 \mathbb{R^3} 下的几何解释
\sum_{i=1}^{n}{a_ib_i} 、 \sum_{i=1}^{n}{a_i^2} 、 {\sum_{i=1}^{n}{b_i^2}} ，这种形式第一眼和向量有高度联系。
那么 (1) 式就能转化为 |\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}|\leq|\boldsymbol{x}||\boldsymbol{y}|
在欧氏空间 \mathbb{R^2} 、 \mathbb{R^3} 下根据向量内积的几何含义易证。
在 \mathbb{R^n}(n>3) 的情况下，由于 几何定义的推广需要用到柯西不等式 ，所以不再适合使用向量内积的几何定义来证明。
3.2 构造二次函数
那么回到原不等式形式，可以观察到两个特性。
一方面有 (a_i+b_i)^2={a_i}^2+{b_i}^2+2a_ib_i ，那么就能将完全平方展开式，和所求目标不等式中的一些项联系起来；
另一方面，令 A=\sum_{i=1}^{n}{a_ib_i} , B=\sum_{i=1}^{n}{a_i^2} , C={\sum_{i=1}^{n}{b_i^2}}
不等式就能写为 A^2\leq BC ，显然又与 二次方程的根判别式 之间建立了联系，那么就能构造以 A、B、C 为系数的二次函数 Bx^2+2Ax+C 进行分析。
构造二次函数：
\begin{align*} f(x) &= ({\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}})x^2+2{(\sum_{i=1}^{n}{a_ib_i})}x+({\sum_{i=1}^{n}{b_i^2}}) \\ &=\sum_{i=1}^{n}{({a_i}^2x^2+2a_ib_ix+{b_i}^2)}\\ &= \sum_{i=1}^{n}{(a_ix+b_i)^2}\geq0\\ \\ \end{align*}\\ 显然有构造的二次函数满足恒大于等于0，那么就有根判别式满足 \Delta\leq0 ，不等式得证。
这里的方法，与积分形式证明中的法2不谋而合。
3.3 对称性代数计算
除此之外，还能运用对称性和基本不等式进行暴力解算。
不等式左侧为 (a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2 ,
不等式右侧为 ({a_1}^2+{a_2}^2+...+{a_n}^2)({b_1}^2+{b_2}^2+...+{b_n}^2) ，
这里 a_i、b_j 项数相等，具有对称性。拆项移项，不等式可以化为:
\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^n(a_ib_ia_jb_j-{a_i}^2{b_j}^2)\leq 0 \\
由于 i 和 j 的对称性：
\begin{align*} 原式 &= \sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^n(a_ib_ia_jb_j-{a_j}^2{b_i}^2) \\ &= \sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^n(a_ib_ia_jb_j-\frac{{a_i}^2{b_j}^2+{a_j}^2{b_i}^2}{2})\leq0 \\ \end{align*} \\ 这里的方法和积分形式的法3本质相似。
