排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型_多服务台混合制排队 ...

1 单服务台混合制模型

单服务台混合制模型 M / M /1/ K 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数分布，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统的空间为 K ，当 K 个位置已被顾客占用时，新到的顾客自动离去，当系统中有空位置时，新到的顾客进入系统排队等待。

由于排队系统的容量有限，只有 K −1个排队位置，因此，当系统空间被占满时，再来的顾客将不能进入系统排队，也就是说不能保证所有到达的顾客都能进入系统等待服务。假设顾客的到达率（单位时间内来到系统的顾客的平均数）为 λ ，则当系统处于状态 K 时，顾客不能进入系统，即顾客可进入系统的概率是 $\large 1- p_{K}$ 。因此，单位时间内实际可进入系统的顾客的平均数为：

例 5 某修理站只有一个修理工，且站内最多只能停放 4 台待修的机器。设待修机器按 Poisson 流到达修理站，平均每分钟到达 1 台；修理时间服从负指数分布，平均每 1.25 分钟可修理 1 台，试求该系统的有关指标。

解该系统可看成是一个 M / M /1/ 4 排队系统，其中

编写 LINGO 程序如下：

model:
sets:
state/1..4/:p;
endsets
lamda=1;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;k=4;
lamda*p0=mu*p(1);
(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+mu*p(2);
@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt#
k:(lamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));
lamda*p(k-1)=mu*p(k);
p0+@sum(state:p)=1;
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i)|i #le#k:i*p(i));
L_q=L_s-(1-p0);
W_s=L_s/lamda_e;
W_q=W_s-1/mu;
2 多服务台混合制模型 
多服务台混合制模型 M / M / s/ K 是指顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 s ，每个服务台服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分 布，系统的空间为 K 。 
由式（4），式（5）和式（6），并注意到在本模型中 
例 6 某汽车加油站设有两个加油机，汽车按 Poisson 流到达，平均每分钟到达 2 辆；汽车加油时间服从负指数分布，平均加油时间为 2 分钟。又知加油站上最多只能停 放 3 辆等待加油的汽车，汽车到达时，若已满员，则必须开到别的加油站去，试对该系 统进行分析。 
解 可将该系统看作一个 M / M / 2 / 5 排队系统，其中 
编写 LINGO 程序如下： 
model:
sets:
state/1..5/:p;
endsets
lamda=2;mu=0.5;rho=lamda/mu;s=2;k=5;
lamda*p0=mu*p(1);
(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+2*mu*p(2);
@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt# s:
(lamda+i*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+(i+1)*mu*p(i+1)); 
@for(state(i)|i #ge# s #and# i #lt# k:
(lamda+s*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+s*mu*p(i+1));
lamda*p(k-1)=s*mu*p(k);
p0+@sum(state:p)=1;
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i):i*p(i));
L_q=L_s-lamda_e/mu;
W_s=L_s/lamda_e;
W_q=W_s-1/mu;
在对上述多服务台混合制排队模型 M / M / s/ K 的讨论中，当 s = K 时，即为多 服务台损失制系统。对损失制系统，有 
式（52）称为 Erlang 损失公式， B(s, ρ) 亦表示了到达系统后由于系统空间已被占满 而不能进入系统的顾客的百分比。 
对损失制系统，平均被占用的服务台数（正在接受服务的顾客的平均数）为 
排队论模型（一）：基本概念、输入过程与服务时间的常用概率分布 
排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型 
排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型 
排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型 
排队论模型（五）： 有限源排队模型、服务率或到达率依赖状态的排队模型 
排队论模型（六）：非生灭过程排队模型、爱尔朗（Erlang）排队模型 
排队论模型（七）：排队系统的优化 
排队论模型（八）：Matlab 生成随机数、排队模型的计算机模拟 
                    排队论模型（一）：基本概念、输入过程与服务时间的常用概率分布排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型排队论模型（五）： 有限源排队模型、服务率或到达率依赖状态的排队模型排队论模型（六）：非生灭过程排队模型、爱尔朗（Erlang）排队...
该代码与生殖器支原体全细胞模型相结合，可通过大规模敲除建模基因而产生计算机内基因组设计。
两种算法都需要超级计算机来运行仿真。
GAMA算法还需要一台专用PC来自动拆分和监视整个集群中的仿真。
Minesweeper算法可以在非专用桌面上手动运行，其输出确定
各服务台服务无相互影响且平均服务时间相同；
注：当顾客平均到达率为常数λ\lambdaλ的到达间隔服从指数分布时，单位时间内到达的顾客数kkk服从泊松分布，即单位时间内到达kkk位顾客的概率为
Pk=λke−λk
1. 基本概念 
排队论(Queuing Theory)，又称随机服务系统理论(Random Service System Theory),是一门研究拥挤现象(排队、等待)的科学。具体地说，它是在研究各种排队系统概率规律性的基础上，解决相应排队系统的最优设计和最优控制问题。
不同的顾客与服务组成了各式各样的服务系统。顾客为了得到某...
				：利用有限状态生灭过程的稳态解推导了23 23 4 3 4 3 5 型排队系统的损失概率公式和系统占有率公式，对服
务台数! 和顾客源" 的优化设计方法进行了理论探讨和可视化分析，借助于267869 编程获得系统的优化设计
方案，并将所得理论和方法应用于有限用户损失制多信道共用通信系统的共用信道数的优化配置研究*
				这里写目录标题2 基本概念习题1. 求随机过程X(t)的概率密度3. 泊松过程泊松过程的数字特征爱尔兰分布到达时间的条件分布顺序统计量的概率密度习题1.5. 连续时间的马尔可夫过程例题1.M/M/1 排队系统例题2.  Fokker-Planck(福克-普朗克)矩阵
2 基本概念
习题1. 求随机过程X(t)的概率密度
设随机变量Y具有概率密度f(y),令:X(t)=eYt,t>0,Y>0求随机过程X(t)的一维概率密度及EX(t),Rx(t1,t2)
设随机变量Y具有概率密度f(y),
				高优先级的患者先于低优先级的患者就医， 同样优先级的患者按照先来先服务的顺序就医。规定：优先码的值最小的元素优先级最高。
    function Patient(name, code) {
        this.name = name;
        this.code = code;
    function Queue() {
        //...
double poisson(double lambda, int n) {
    return pow(lambda, n) * exp(-lambda) / factorial(n);
double mmss(double lambda, double mu1, double mu2, int s) {
    double rho = lambda / (s * mu1 + mu2);
    double p0 = 0.0;
    for (int i = 0; i <= s; i++) {
        p0 += poisson(lambda / (s * mu1 + mu2), i);
    p0 += poisson(lambda / (s * mu1 + mu2), s) * (1.0 - pow(rho, s + 1)) / (1.0 - rho);
    double lq = pow(lambda / (s * mu1 + mu2), s + 1) * rho / (factorial(s) * pow(1.0 - rho, 2));
    double wq = lq / lambda;
    double w = 1.0 / mu1 + wq;
    double l = lambda * w;
    double ls = pow(lambda / (s * mu1 + mu2), s) * rho * (1.0 - rho) / (factorial(s) * pow(1.0 - rho, 2));
    double ws = ls / mu2;
    double lsys = l + ls;
    double wsys = w + ws;
    cout << "P0: " << p0 << endl;
    cout << "Lq: " << lq << endl;
    cout << "Wq: " << wq << endl;
    cout << "W: " << w << endl;
    cout << "L: " << l << endl;
    cout << "Ls: " << ls << endl;
    cout << "Ws: " << ws << endl;
    cout << "Lsys: " << lsys << endl;
    cout << "Wsys: " << wsys << endl;
int main() {
    double lambda, mu1, mu2;
    int s;
    cout << "Enter arrival rate (lambda): ";
    cin >> lambda;
    cout << "Enter service rate at server 1 (mu1): ";
    cin >> mu1;
    cout << "Enter service rate at server 2 (mu2): ";
    cin >> mu2;
    cout << "Enter number of servers at first station (s): ";
    cin >> s;
    mmss(lambda, mu1, mu2, s);
    return 0;
该程序首先定义了一个阶乘函数和一个泊松分布函数，然后定义了一个mmss函数，该函数接受到达率lambda，第一台服务器的服务率mu1，第二台服务器的服务率mu2和第一台服务器的数量s，并计算出排队论模型的各种指标。最后，程序通过从用户获取输入来调用mmss函数并输出结果。