幂律分布（长尾分布）
对于另一些分布，比如国家
GDP
或
个人收入
的分布，情况就大不一样了，个体的尺度可以在很宽的范围内变化，这种波动往往可以跨越多个
数量级
。
根据
世界银行
的统计，最富有的国家—美国，其2003年GDP高达10, 881, 609, 000,000美元（一个
天文数字
） ，而
数据显示
同年GDP最低的国家—
西非
岛国
圣多美和普林西比
，只有54, 000,000美元，二者之比高达201511. 3。
国家或
城市人口
的分布也会出现类似的情形。全世界有224个
国家和地区
，只有11个国家的
人口数
超过一亿。 据世界银行的统计， 2003年人口最多的国家—中国，总人口数多达1, 288, 400,000，而数据显示同年人口最少的国家—西
太平洋
上的
帕劳群岛
，人口数仅为20, 000 （不及中国一个普通县城的人口数） ，二者之比有64420之多。
以收入值或国家总人口数为横坐标，以不低于该收入值的人数（概率）或国家数目（概率）为纵坐标，可绘出一条向右偏斜得很厉害，这种拖着长长“尾巴”的概率分布曲线，它与钟形的
泊松分布
曲线有显著的不同. 这种“长尾”分布表明，绝大多数个体的尺度很小，而只有少数个体的尺度相当大。
对“长尾”分布研究做出重要贡献的是Zipf和Pareto ，虽然他们并不是这种分布的最早
发现者
。
Zipf定律
与Pareto定律都是简单的
幂函数
，我们称之为幂律分布。
Zipf定律： f(r) ∝ r
-b
英文单词中序为r的单词出现次数(频率)f(r)
反比
于r的幂，即有f(r)~r
-b
。
发现过程：1932年，
哈佛大学
的语言学专家Zipf在研究英文单词出现的频率时，发现如果把单词出现的频率按由大到小的
顺序排列
，则每个单词出现的频率与它的排名序号的常数
次幂
存在简单的反比关系：
P（r） ～r^-α
。这种分布就称为
Zipf定律
，它表明在
英语单词
中，只有极少数的词被经常使用，而绝大多数词很少被使用。 实际上，包括汉语在内的许多国家的语言都有这种特点。
物理世界
在相当程度上是具有惰性的，动态过程总能找到
能量消耗
最少的途径，人类的语言经过千万年的演化，最终也具有了这种特性，词频的差异有助于使用较少的词汇表达尽可能多的语义，符合“
最小努力原则
”.
分形几何学
的创始人Mandelbrot对Zipf定律进行了修订，增加了几个参数，使其更符合实际的情形。
Pareto定律： P[X>= x] ∝ x
-k
发现过程：19世纪的
意大利
经济学家Pareto研究了个人收入的
统计分布
，发现少数人的收入要远多于大多数人的收入，提出了著名的80/20法则，即20%的人口占据了80%的
社会财富
。个人收入X不小于某个特定值x的概率与x的常数次幂亦存在简单的反比关系(累计
分布函数
cumulative distribution function，简称CDF)：P[X≥x]～x
-k
，此式即为Pareto定律。Zipf定律与Pareto定律都是简单的幂函数，我们称之为幂律分布。对Pareto分布P[X >= x] ~ x
-k
，通过求导很容易得到其概率
分布密度
：
p[X < x] ~ x
-(k+1)
= x
-a
，a = 1+k。
幂律分布
优先连接
Barabási与Albert针对
复杂网络
中普遍存在的幂律分布现象，提出了网络动态演化的
BA模型
，他们解释，成长性和优先连接性是
无标度网络
度分布
呈现幂律的两个最根本的原因。所谓成长性是指
网络节点数
的增加，像Internet中
自治系统
或路由器的添加，以及WWW中网站或网页的增加等，优先连接性是指新加入的节点总是
优先选择
与度值较高的节点相连，比如，新网站总是优先选择人们经常访问的网站作为
超链接
。随着时间的演进，网络会逐渐呈现出一种“富者愈富，贫者愈贫”的现象。
社会学家
所说的“
马太效应
”。“优先连接”并不适用于所有出现幂律分布的情况，即便是对于某些无标度网络，用它解释幂律的成因也显得很不合理。以
生态系统
中的
食物链
为例，认为被捕食者最有可能被猎物广泛的
杂食性
捕食者吃掉，确实是一件很荒唐的事。还有像Internet、航空网等网络，流量或容量的限制可以在一定程度上抑制优先连接性，电影演员的合作网络中，节点(演员)的衰老或隐退也能起到类似的作用。
幂律分布
自组织临界论
自组织临界理论认为，由大量相互作用的成分组成的系统会自然地向自组织临界态发展；当系统达到这种状态时，即使是很小的干扰事件也可能引起
系统发生
一系列灾变。
设想在一平台上缓缓地添加沙粒，一个沙堆逐渐形成。开始时，由于沙堆平矮，新添加的沙粒落下后不会滑得很远。但是，随着沙堆高度的增加，其坡度也不断增加，沙崩的规模也相应增大，但这些沙崩仍然是局部性的。到一定时候，沙堆的坡度会达到一个
临界值
，这时，新添加一粒沙子（代表来自外界的微小干扰）就可能引起小到一粒或数粒沙子，大到涉及整个沙堆表面所有沙粒的沙崩。这时的沙堆系统处于“自组织临界态”,有趣的是，临界态时沙崩的大小与其出现的频率呈幂律关系。
幂律分布是自组织临界系统在混沌边缘，即从稳态过渡到混沌态的一个标志，利用它可以预测这类系统的相位及相变。自组织临界理论可以解释诸如
火山爆发
、
山体滑坡
、岩层形成、日辉耀斑、
物种灭绝
、
交通阻塞
、以及
金融市场
中泡沫崩溃的幂律分布现象。这种理论的启示是小事件和大事件可能有相同的起因，这为地震、
恐龙灭绝
、
森林火灾
等复杂大系统的突变提供了新的解释。以恐龙灭绝为例，
古生物学家
经过对化石的研究指出，这一重大事件不是经历了数万年或者几年，而是在20多天的突变中“一朝覆灭”的。恐龙的灭绝可以被看作是处于
临界状态
下的生态系统发生的一次“大雪崩”
幂律分布
HOT理论
另一种解释幂律分布形成原因的重要理论是HOT。该理论由加州大学圣巴巴拉分校的Jean Carlson以及
加州理工学院
的John Doyle提出。他们宣称，对于由许多
子系统
连结成的
复杂系统
，不管是自然演化还是人为设计的，当该系统可以有效地容忍某些不确定因素时(具强健性)，将对其他未被考虑到的不确定因素变得更敏感。也就是说，强健性和敏感度具有相互递换的效果。这里的不确定因素包含系统内部的不确定因素以及外在环境的干扰。以生态系统为例，如果它可以容忍气温、湿度、养分等巨幅变化，那么这生态系统却可能无法容忍一些意料之外的小干扰，如基因突变、外来族群迁入、或新的病毒，这些干扰可能会造成
生态环境
的巨大改变。当一复杂系统处于HOT状态时，该系统将满足幂律，也就是说，全局性的优化过程可导致幂律分布：具有特征尺度的输入经过一个全局性的系统“产量”优化过程后，可产生具有幂律分布特性的输出。全局性优化在生态系统、
航空航天
与汽车系统、林业系统、因特网、
交通运输
及
电力系统
中具有广泛的应用，HOT理论可以解释上述系统中出现的幂律分布现象，比如可以解释林业系统中火灾规模所呈现的幂律分布。
仅取
A股市场
的100家股票， 按
流通市值
大小排序，拟合的相关程度99.6%，其幂指数为0.897。
1000家股票拟合的幂分布函数曲线，拟合的相关程度93.7%，其幂指数约为0.53。
抽油机
作为耗电“老虎”，其工程指标为产液
单耗
，即从井每产一吨液耗多少度电，描述抽油机自身效率的
技术指标
为系统效率。二者的关系呈幂律分布关系，这一发现对于我们
工程技术
或油田管理人员进行提高系统效率，无疑具有很大的指导意义：即抓住20%的低效井进行治理改造，就可取得80%的提高效果。
