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Martingale的词本意是指马车上马夫控制马前进的缰绳（如果我记得没错的话），所以从词源来看刻画了一种过程前进（未来）与现在出发点关系的含义。具体来说缰绳的作用是使得马车的前进方向与现在所冲的方向一致，所以在概率上来解释就是未来发生的所有路径可能性的期望值与现在的出发点一致。

从这个意义上来说Matingale的核心是说明了一个过程在向前演化的过程中的稳定性性质。但它并没有说明这个过程是如何到达这一时间点的（是否由上一个时间点所在的位置决定，matingale并没有说明）。再用马车的例子来说，Martingale告诉了你马车在未来是怎么向前走的，中间会有左右的波动（比如马、车夫走神了，路上有坑马要绕开，etc.），但整体来说马是沿着一条直线向前走的。

而马尔科夫过程的核心在于点明了过程的演化是无记忆性的。还拿马车来举栗子，假设车夫喝醉了，他没有意识并在一个很大的广场，马车下一刻前进的方向并不需要是一条直线（经过车夫与马的直线，这种情况下缰绳是绷直的，是martingale），或者说缰绳由于车夫没绷紧是松垮的，这种情况下马车在下一刻可以去任何一个方向，整体上来说前进方向也不必须有什么稳定性规律可循，但整个过程唯一的共性是马迈出前腿的时候，能够到达的所有可能范围，是由它的后腿（你现在所在的位置）决定的（但马可能扭一扭屁股，身子弯曲一下，所以不必须走直线，不必需走直线，不必需走直线！），而并没有由上一步马所在的位置决定，这也就是所谓的无记忆性。

所以从这两个角度来理解，两个名词

都从一个过程的全生命角度描画了一个过程的演进性质，

当还是马车例子的时候,martingale也是一个markov（因为虽然走直线，但下一刻的位置还是只由现在决定，只是马身子不能扭曲，不能改变方向），这个例子在概率上最熟悉的模型就是brownian motion了；而反过来，马车未来位置由现在决定，又走直线，所以此时markov process 也是一个martingale （例子还是brownian motion）；

但更重要的是两个过程本质上不是在讲一回事：比如还是马车车夫，喝醉了但走在一个三维空间，这时候它是一个markov process,但是由于方向不确定，此时已经不是martingale而变成了一个local martingale；而反过来，假设有一个错帧宇宙，空间共享但时间差一天，这时候同一个马车走在不同的宇宙里（但行走轨迹独立），缰绳拉直，此时两架马车都走之前，两架马车组成的系统是一个martingale，但是由于下一时刻前进的方向与宇宙1中的此时有关，也与宇宙2中的昨天有关，所以两架马车组成的系统就不再是一个markov了。

总结一下，brownian motion (wiener process)既是markov process 又是 martingale; 而markov process 与martingale是相交而非包含与反包含关系。只能说你中有我我中有你，但你不属于我我也不属于你从严格定义来看，鞅直观意义是一条（有固定趋势的）线。

考虑一个函数f(t)，横轴是时间轴，纵轴是函数值。这个函数可以是平的（就是 f(t)=C ），也可以单调增，也可以单调减。因此从图像上看是一条有固定趋势的线。
如果仅仅是线，那么未免太乏味无趣。概率就是把固定取值的变量 X=C 取代为可以同时取多个值、每个值都有一定权重的随机变量，相当于引入了多个可能状态。随机过程进一步引入一个时间轴，考虑随机变量的序列 X_n （或者连续版本的 X_t ），因此如果画在刚刚那个图里， $X_n(\omega)$ 可以看做某个大体上是线、局部有些抖动的点列，而 X_n 就是这些点列的集合。
那么离散鞅是一种点列集（随机过程），这个点列集大体趋势是 f(t)=C ，只是会有一些抖动，而且是考虑一个抖动围绕这条线的点列集整体。类似的，上鞅、下鞅就是单调减、单调增函数的点列集。

单调的函数也出现在R-S积分 $\int Cdf$ （比如最简单的 f(t)=t

），其离散版本是 $\sum_i C(t_{i-1})(f(t_i)-f(t_{i-1}))$ 。类似的我们也可以把其类比到鞅，从而形成一个随机积分的式子 $X_n-X_{n-1}$ 是每一次下注的单位赢利，那么对一个gambling strategy $F_{n-1}$ 可测的，并且假设其非负），类比确定性的情况 X_n

是鞅（对应地，

），那么到第n时刻的总赢利 $Y_n=\sum_{i=1}^n C(t_{i-1})(X_i-X_{i-1})$ 是一个鞅（对应地， $\int_0^tCdf$ 对任意t都是0）。类似地，如果 X_n

是下鞅（对应地，

单调增），那么

也是一个下鞅（对应地， $\int_0^t Cdf$ 单调增）。因此我们赢利与否，取决于 X_n

本身（对应地， $\int_0^tCdf$ 是单调增还是单调减，取决于

本身是增还是减，因为已经假定 $C(t)\ge0$ 了），我们怎么设计策略也都无法打败系统。 Martingale的词本意是指马车上马夫控制马前进的缰绳（如果我记得没错的话），所以从词源来看刻画了一种过程前进（未来）与现在出发点关系的含义。具体来说缰绳的作用是使得马车的前进方向与现在所冲的方向一致，所以在概率上来解释就是未来发生的所有路径可能性的期望值与现在的出发点一致。从这个意义上来说Matingale的核心是说明了一个过程在向前演化的过程中的稳定性性质。但它并没有说明这个过程是如何到达这一时间点的（是否由上一个时间点所在的位置决定，matingale并没有说明）。

条件期望 (conditional expectation) 是理解衍生品定价的第一个难关。本文将帮助读者建立对条件期望的直观理解。本文中的定义和定理来自于Steven E Shreve 的 Stochastic calculus for finance II: Continuous-time models. 本文将以直观的方式来解释这些定义和定理。我们先来看一下Steven E Shreve ...

UA MATH563 概率论的数学基础鞅论初步5 鞅的定义、停时从这一讲开始，我们正式引入鞅 (martingale)。称(Xn,Fn)(X_n,\mathcal{F}_n)(Xn,Fn)是鞅，如果 ∀n\forall n∀n，XnX_nXn绝对可积 {Xn}\{X_n\}{Xn} adapted to {Fn}\{\mathcal{F}_n\}{Fn} E[Xn+1∣Fn]=XnE[X_{n+1}|\mathcal{F}_n]=X_nE[Xn+1∣Fn]=Xn 如果第三条改为E[Xn

第6章- 鞅过程及其性质-《随机过程》方兆本6.1 条件期望及其性质定义6.1 条件期望6.2 鞅过程定义6.2 鞅序列 / 鞅差序列6.3 鞅和鞅差的性质6.3.1 鞅的性质6.3.2 鞅差的性质6.4 下(上) 鞅及其初等性质6.5 连续时间下的鞅过程和下鞅过程 6.6 停时 Martingale 鞅 6.1 条件期望及其性质定义6.1 条件期望给定随机向量 (Y1,⋯ ,YnY_1, \cdots, Y_nY1,⋯,Yn) = (y1,⋯ ,yny_1, \cdo... 一些定义：随机过程：依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。即假设 TTT 是指标集，且对于任意 t∈Tt\in Tt∈T，XtX_tXt 都是一随机变量，那么我们就可以称 {Xt∣t∈T}\{X_t|t\in T\}{Xt∣t∈T} 为一随机过程。条件概率：P(A∣B)P(A|B)P(A∣B)，表示事件 AAA 在事件 BBB 发生的条件下发生的概率。独立同分布：对于随机变量 X1,⋯ ,XnX_1,\cdots,X_nX1,⋯,Xn，若它们服从同一分布，并且互相独立，就称这些另外清华大学张颢老师的随机过程导论部分,讲的非常好.可以看看顶尖的人是如何看这个世界的. 3, 随机过程 stochastic processes 通俗来说就是一组随机变量之间的相互关系. 目前认知的三种相互关系: (1),相关,线性主要分为时域上(相关函数) 频域上为功率谱密度并且相关函数与功率谱密度存在密切联系. 典型的线性随机过

文章目录3.1 条件概率3.2 鞅的定义与基本性质3.3 鞅的举例与构造方法3.4 上鞅、下鞅的定义及基本性质3.5 Jensen不等式与下鞅的构造3.6 分解定理 3.1 条件概率在初等概率论中，条件期望的概念比较好理解，有 E[X∣Y=yj]=∑ixiP(X=xi∣Y=yj){\mathbb E}[X | Y = y_j] = \sum_i x_i P(X=x_i | Y = y_j)E[X∣Y=yj]=∑ixiP(X=xi∣Y=yj)，得到的条件期望实际上是一个关于 Y=yjY=y_jY=

文章目录1 符号与基本定义2 随机过程的拆解与刻画2.1 有限维分布 —— 完整地刻画随机过程 2.2 数字特征 —— 刻画随机过程的关键性质3 随机过程的基本类型 1 符号与基本定义 Ω\OmegaΩ, sample space, 样本空间Ω={ω1,ω2,...}\Omega = \{\omega_1, \omega_2, ...\}Ω={ω1,ω2,...} ω\omegaω, sample point / observation : ω∈Ω\omega \in \Omegaω∈Ω F\maths

有些朋友问到“ 鞅 ”的概念。我总是有些回避，因为这个概念太庞大，加上自身理解得也不是很透彻，不敢妄加评论。但前些时看到《女士品茶》，觉得还是能用通俗的语言稍加解释。鞅的英文是martingale。大家查百度词典，有两个解释：1. 马颔缰；2. 加倍赌注。解释貌似跟数学不搭边

马尔可夫过程是一种随机过程，它具有马尔可夫性质。马尔可夫性质指的是，在给定当前状态的情况下，未来的状态仅依赖于当前状态，而与过去的状态无关。换句话说，马尔可夫过程没有记忆，只与当前状态有关。马尔可夫过程可以用状态空间和状态转移概率来描述。状态空间是所有可能的状态的集合，而状态转移概率则描述了从一个状态转移到另一个状态的概率。马尔可夫过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。在离散时间马尔可夫过程中，状态和时间都是离散的，状态在每个时间步骤都会发生改变。而在连续时间马尔可夫过程中，状态是连续的，时间也是连续的。马尔可夫过程在许多领域中都有广泛的应用，包括物理学、经济学、生物学等。它被用来建模具有随机性和动态变化的系统，例如天气预测、股票价格变动、遗传演化等。