\[\begin{aligned} & \pi_2^{\prime}=q_2^{\prime}\left(\frac{3}{4}-q_1-q_2^{\prime}\right) \\ & \pi_2^{\prime \prime}=q_2^{\prime \prime}\left(\frac{4}{5}-q_1-q_2^{\prime \prime}\right) \end{aligned} \]

\[E \pi_1=\frac{1}{2} q_1\left(1-q_1-q_2^{\prime}\right)+\frac{1}{2} q_1\left(1-q_1-q_2^{\prime \prime}\right) \]

\[\begin{aligned} & \frac{3}{4}-q_1-2 q_2^{\prime}=0 \\ & \frac{4}{5}-q_1-2 q_2^{\prime \prime}=0 \\ & 1-2 q_1-\frac{1}{2} q_2^{\prime}-\frac{1}{2} q_2^{\prime \prime}=0 \end{aligned} \]

\[\pi_2=\left(3-q_1-q_2\right) q_2 \]

\[(1 + t_1) \frac{x - c_2}{x} - \frac{c_2}{x} \geq (-1) \frac{x - c_2}{x} + \frac{c_2}{x} \]

\[\frac{x - c_1}{x} - \frac{c_1}{x} \geq (-1) \frac{x - c_1}{x} + \frac{c_1}{x} \]

\[x - c_1 - 4 + x + \sqrt{16 + x^2} = 2 c_1 - 2 x + 2 c_1 = c_1 x - c_1^2 \]

\[\frac{x - c_1}{x} = \frac{1}{2} + \frac{4 - \sqrt{16 + x^2}}{2 x} \]

\[\frac{c_2}{x} \rightarrow \frac{1}{2} \]

\[max\theta(A_h-q_{1h}-q_2-c)q_2+(1-\theta)(A_l-q_{1l}-q_2-c)q_2 \]

\[q_2=\frac{\theta\left(A_h-q_{1h}\right)+(1-\theta)\left(A_l-q_{1l}\right)-c}{2} \]

\[\begin{aligned} \dot{q}_{1h}^*=\frac{(3-\theta) A_h-(1-\theta) A_l-2c}{6} \\q_{1l}^*=\frac{(2+\theta) A_l-\theta A_h-2c}{6}, \\ q_2^*=\frac{\theta A_h+(1-\theta) A_l-c}{3} . \end{aligned} \]

\[\frac{h}{x}\left(2+t_\omega\right) \frac{x-h}{x} \cdot 0=\frac{h}{x}\left(2+t_w\right)

同样，只有当选择观看歌剧表演的期望得益大或等于选择足球赛的期望得益时，妻子才会选择观看歌剧表演，由此可得 \(t_h \geq x / \omega-4 ， h=x / \omega-4\) 。

解联立方程组

可得

当参数 \(\omega\) 和 \(h\) 满足上述关系时，上述策略构成贝叶斯纳什均衡。为的概此时，妻子选择歌剧表演的概率为:

丈夫选择足球赛的概率为:

当 \(x \rightarrow 0\) ，即不完全信息接近消失或微不足道时，上述两概率分别倾向于 \(3 / 4\) 和 \(2 / 3\) ，上纯策略贝叶斯均衡就收敛为一个完全信息博率的混合策略纳什均衡，这正是我们之前给出的完全信息“性别之争“博率的混合策略均衡的随机选择概率分布。也正是在 \(x \rightarrow 0\) 这个意义上，海萨尼认为完全信息博率的混合策略均衡是不完全信息博率贝叶斯均衡的极限。

9 抓钱博弈
桌子上放1元钱，桌子的两边坐着两个参与人，如果两人同时去抓钱，每人罚款1元；如果只有一人去抓，抓的人得到那元钱；如果没有人去抓，谁也得不到什么。因此，每个博弈方的策略是决定抓还是不抓。得益矩阵如下图所示

这个博弈有两个纯策略纳什均衡(一个博弈方抓另一个博弈方不抓)和一个对称混合策略均衡：每个博弈方以 \(\frac{1}{2}\) 的概率选择抓。后者是一个均衡，因为，如果博弈方 \(i\) 不抓，他的利润是0；如果博弈方 \(i\) 去“抓”，他的期望利润是 \(\frac{1}{2}(1)+\frac{1}{2}(-1)=0\) 。现在考虑同样的博弈但具有如下不完全信息；每个参与人有相同的得益结构，但如果他赢了的话知道，但另一个博弈方不知道。假定，博弈方自己利润是 \(1+\theta_i\) （而不是1）。这里 \(\theta_i\) 是博弈方的类型，博弈方 \(i\) 自己知道，但另一个博弈方不知道。假定 \(\theta_i\) 在区间 \([-\varepsilon, \varepsilon]\) 上均匀分布。
我们考虑下列策略选择：(1)博弈方1：如果$\theta_1 \ge \theta_1^* $ ，选择“抓”；如果$\theta_1 \lt \theta_1^* $ ，选择“不抓”；(2)博弈方2：如果 \(\theta_2 \ge \theta_2^*\) ，选择“抓”；如果 \(\theta_2 \ge \theta_2^*\) ，选择“不抓”。给定博弈方 \(j\) 的策略，博弈方 \(i\) 选择抓（用1表示）的期望利润是

这里， \(\left(1-\frac{\theta_j^*+\varepsilon}{2 \varepsilon}\right)\) 是博弈方 \(j\) 抓的概率， \(\left(\frac{\theta_j^*+\varepsilon}{2 \varepsilon}\right)\) 是博弈方 \(j\) 不抓的概率。博弈方 \(i\) 选择不抓 (用 0 表示) 的利润是 \(u_i(0)=0\) 。因此， \(\theta_j^*\) 满足下列条件

或简化为

因为博弈是对称的，在均衡情况下， \(\theta_i^* = \theta_j^*\) ，上述条件意味着 \(\theta_1^* = \theta_2^*=0\) 。也就是说每一个博弈方 \(i\) ，均衡情况下的最优选择是：如果 \(\theta_i \ge 0\) ，选择“抓”；如果 \(\theta_i \lt 0\) ，选择“不抓”。因为 \(\theta_i \geq 0\) 和 \(\theta_i<0\) 的概率各为 \(1 / 2\) , 每一个博率方在选择自己的行动时都认为对方选择抓与不抓的概率各为 \(1 / 2\) ，似乎他面对的是一个选择混合策略的对手，尽管每个博弈实际上选择的都是纯策略。当 \(\varepsilon \to 0\) 时，上述贝叶斯均衡就收敛为一个完全信息博弈的混合策略纳什均衡。因此，海萨尼说完全信息博弈的混策略均衡是不完全信息博弈贝叶斯均衡的极限。

10 试给出下述信号博弈的纯战略均衡中的混同均衡和分离均衡。

解 : 有四种可能: 混同均衡 \(t_1 \rightarrow m_1, t_2 \rightarrow m_1\) ； \(\quad t_{\mathrm{l}} \rightarrow m_2, t_2 \rightarrow m_2\)
分离均衡 \(t_1 \rightarrow m_1, t_2 \rightarrow m_2\) ； \(\quad t_1 \rightarrow m_2, t_2 \rightarrow m_1\)
设 \(u(m_i)\) 为接受者看见 \(m_i\) 时认为发送者是 \(t_1\) 的概率。看见 \(t_1 \rightarrow m_1, t_2 \rightarrow m_1\) ，则 \(u\left(m_1\right)=0.5\) , 非均衡路径上 \(u\left(m_2\right)=[0,1]\)
当接收者看见 \(m_1\) , 选 \(a_1\) 的支付为

选 \(a_2\) 的支付为 $$0.5 \times 8+0.5 \times 7=7.5>1.5$$
故选 \(a_2\) 。
当接受者看见 \(m_2\) , 选 \(a_1\) 的支付为

选 \(a_2\) 的支付为

当 \(t_1\) 选 \(m_1\) , 接收者会选 \(a_2\) , \(t_1\) 得支付 10 , 要求 \(t_1\) 不选 \(m_2\) , 对 \(u\left(m_2\right)\) 无要求, 因 \(t_1\) 总会选 \(m_1\) 。
当 \(t_2\) 选 \(m_1\) , 接收者会选 \(a_2, t_2\) 得支付 3 , 要求 \(t_2\) 不选 \(m_2\) 是不可能的, 因 \(t_2\) 选 \(m_2\) 是占优于选 \(m_1\) 的, 故此混同均衡 \(t_1 \rightarrow m_1, t_2 \rightarrow m_1\) 不存在。
再看混同均衡 \(t_1 \rightarrow m_2, t_2 \rightarrow m_2\) .

当接收者看见 \(m_2\) , 选 \(a_1\) 的支付为

选 \(a_2\) 的支付为

故接收者必选 \(a_2\) 。
当接收者看见 \(m_1\) 时, 选 \(a_1\) 的支付为

选 \(a_2\) 的支付为

故必选 \(a_2\) 。
这样, 无论发送者发出 \(m_1\) 或 \(m_2\) 信号, 接收者总选 \(a_2\) \(\Rightarrow\) 给定接收者总是选 \(a_2\) 。
\(t_1\) 会选 \(m_1, t_2\) 会选 \(m_2\) \(\Rightarrow\) 故 \(t_1 \rightarrow m_2, t_2 \rightarrow m_2\) 不是混同均衡。
看分离均衡 \(t_1 \rightarrow m_1, t_2 \rightarrow m_2\)

接收者看见 \(m_1\) 时, 必选 \(a_2\) ；接收者看见 \(m_2\) 时, 必选 \(a_1\)
此时, \(t_1\) 选 \(m_1, t_2\) 选 \(m_2\) \(\Rightarrow\) 故 \(t_1 \rightarrow m_1, t_2 \rightarrow m_2\) 是一个分离均衡。
最后看分离均衡 \(t_1 \rightarrow m_2, t_2 \rightarrow m_1\)

接收者看见 \(m_1\) 时, 必选 \(a_2\) ；接收者看见 \(m_2\) 时, 必选 \(a_2\) \(\Rightarrow\) 给定接收者总选 \(a_2\)

故只有一个纯战略子博弈完全分离均衡

11 厂商进入的信号博弈
现市场上有一新厂商打算进入市场，而自然决定这个进入者 (后称 \(p_1\) ) 强弱 \(\left(\theta_s, \theta_w\right)\) ，同时在位厂商 (后称 \(\left.p_2\right)\) 不知进入厂商的类型是强 \(\left(\theta_s\right)\) 还是弱 \(\left(\theta_w\right)\) ，但是可以观察到进入厂商释放的信号是强 \((S)\) 还是弱 \((W)\) 。在位厂商可以根据信号决定打 ( \(F\) ,fight)，还是适应 ( \(A\) ,accommodate)，见下图：

思考: 进入厂商 \(p_1\) 有哪些策略: \(SS、WW、SW、WS\) 。以 \(SS\) 为例，第一个 \(S\) 的意思是，当 \(p_1\) 为 \(\theta_s\) 时，发出 \(S\) 信号；第二个 \(S\) 的意思是，当 \(p_1\) 为 \(\theta_w\) 时，发出 \(S\) 信号。
在位厂商 \(p_2\) 有哪些策略: \(FF、AA、FA、AF\) 。以 \(F F\) 为例，第一个 \(F\) 的意思是，当 \(p_2\) 接受到 \(S\) 信号时，作出 \(F\) 动作；第二个 \(F\) 的意思是，当 \(p_2\) 接受到 \(W\) 信号时，作出 \(F\) 动作。

解:(1) 考虑 \(S_1=S W\) ， \(p_1\) 为 \(\theta_s\) 时释放 \(S\) 信号， \(p_1\) 为 \(\theta_w\) 时释放 \(W\) 信号。这是“说实话”的情况，那么在贝叶斯信念中，

那么从博弈树可知， \(p_2\) 的策略为: \(S_2=A F\)

\(p_1\) 类型为 \(\theta_s\) ，释放 \(S\) 信号， \(p_2\) 选择 \(A\) 的收益高;
\(p_1\) 类型为 \(\theta_w\) ，释放 \(W\) 信号， \(p_2\) 选择 \(F\) 的收益高。

分析：由序贯理性可知，若 \(p_1\) 知道 \(S_2=A F\) ，则 \(p_1\) 在自己类型为 \(\theta_w\) 时，释放 \(S\) 信号。而 \(S_2=A F\) ，则 \(p_2\) 选择 \(A\) 策略，此时收益 \(B_{p_1}^S=2\) 反而高于 \(p_2\) 选 \(F\) 的收益 \(B_{p_1}^W=1\) ，这样就不是一个完美贝叶斯纳什均衡 (Perfect Bayesian Nash Equilibrium, PBNE)。
**(2) **考虑 \(S_1=W S\) ， \(p_1\) 为 \(\theta_s\) 时释放 \(W\) 信号， \(p_1\) 为 \(\theta_w\) 时释放 \(S\) 信号。这是“说谎话”的情况，那么在贝叶斯信念中，

那么从博弈树可知， \(p_2\) 的策略为: \(S_2=F A\)

\(p_1\) 类型为 \(\theta_s\) ，释放 \(W\) 信号， \(p_2\) 选择 \(A\) 的收益高;
\(p_1\) 类型为 \(\theta_w\) ，释放 \(S\) 信号， \(p_2\) 选择 \(F\) 的收益高。

分析：由序贯理性可知，若 \(p_1\) 知道 \(S_2=F A\) ，则 \(p_1\) 在自己类型为 \(\theta_w\) 时，释放 \(W\) 信号。而 \(S_2=F A\) ，则 \(p_2\) 选择 \(A\) 策略，此时收益 \(B_{p_1}^W=3\) 反而高于 \(p_2\) 选 \(F\) 的收益 \(B_{p_1}^S=0\) 。那么这样就不是 \(\mathrm{PBNE}\) 。
**(3) **考虑 \(S_1=S S\) ， \(p_1\) 为 \(\theta_s\) 时释放 \(S\) 信号， \(p_1\) 为 \(\theta_w\) 时释放 \(S\) 信号。在贝叶斯信念中，

只看左边的树。有: \(S_2=A A\)
\(p_2\) 中，选 \(A\) 的收益为 \(B_{p_2}^A=1\) ，选 \(F\) 的收益为 \(B_{p_2}^F=0 \times P+2 \times(1-P)=2(1-P)\) ，
如果要让 \(B_{p_2}^F<B_{p_2}^A\) ，则 \(2(1-P)<1\) ，得到

那么结论是，若 \(P>1 / 2\) ，则 \(p_2\) 的策略为 \(S_2=A A_{\text {。}}\)
i） 然而，也要考虑 \(p_1\) 释放 \(W\) 的情况（虽然不会出现，也要讨论)
可以发现， \(p_2\) 选 \(A\) 的收益为 \(B_{p_2}^A=1\) ，选 \(F\) 的收益为 \(B_{p_2}^F=0 \times \mu\left(\theta_s \mid w\right)+2 \times\left(1-\mu\left(\theta_s \mid w\right)\right)=\) \(2\left(1-\mu\left(\theta_s \mid w\right)\right)\) 。
因为 \(\mu\left(\theta_s \mid w\right)>1 / 2\) ，则 \(p_2\) 选择 \(F\) 的收益为 \(B_{p_2}^F=2\left(1-\mu\left(\theta_s \mid w\right)\right)<1\) ，综上, \(S_2=A A_{\text {。}}\)
但是! \(p_1\) 为 \(\theta_w\) 时可以认为，反正 \(p_1\) 出什么信号， \(p_2\) 都会选择 \(A\) 行为。从博弈树上可以看到， \(p_1\) 释放 \(W\) 时，收益为 \(B_{p_1}^W=3，p_1\) 释放 \(S\) 时，收益为 \(B_{p_1}^S=2\) 。
那么， \(S_1\) 有可能偏离到 \(S_1=S W\) 去，所以 \((SS, AA, P)\) 不是PBNE。
ii) 同样考虑 \(p_1\) 释放 \(W\) 的情况。有: \(S_2=A F\)
此时，选 \(F\) 的收益为 \(B_{p_2}^F=0 \times P+2 \times\left(1-\mu\left(\theta_s \mid w\right)\right)=2\left(1-\mu\left(\theta_s \mid w\right)\right)\) ，
根据 \(2\left(1-\mu\left(\theta_s \mid w\right)\right)>1\) ， 得到 \(\mu\left(\theta_s \mid w\right)<1 / 2\) 时， \(B_{p_2}^F>1\) 。
那么，如果 \(p_1\) 为 \(\theta_s\) 释放 \(W\) 信号，有 \(B_{p_1}^S=3 \rightarrow B_{p_1}^W=0\) ，是一个下降趋势；
如果 \(p_1\) 为 \(\theta_w\) 释放 \(W\) 信号，有 \(B_{p_1}^S=2 \rightarrow B_{p_1}^W=1\) ，也是一个下降趋势。
所以， \(p_1\) 不能为 \(\theta_s\) 时释放 \(W\) 信号，也不能为 \(\theta_w\) 时释放 \(W\) 信号。
综上， \((S S, A F, \mu)\) 为 \(\mathrm{PBNE}\) ，但需满足 \(\mu\left(\theta_s \mid w\right) \leq 1/2, \mu\left(\theta_s \mid s\right)=P\) 。
(4) 考虑 \(S_1=W W\) ， \(p_1\) 为 \(\theta_s\) 时释放 \(W\) 信号， \(p_1\) 为 \(\theta_w\) 时释放 \(W\) 信号。在贝叶斯信念中，

只看右边的树。有: \(S_2=A A\)
\(p_2\) 中，选 \(A\) 的收益为 \(B_{p_2}^A=1\) ，选 \(F\) 的收益为 \(B_{p_2}^F=0 \times P+2 \times(1-P)=2(1-P)\) ，如果要让 \(B_{p 2}^F<B_{p 2}^F\) ，则 \(2(1-P)<1\) ， 得到

那么结论是，若 \(P>1 / 2\) ，则 \(p_2\) 的策略为 \(S_2=A A_{\text {。}}\)
**i) **然而，也要考虑 \(p_1\) 释放 \(S\) 的情况 (虽然不会出现，也要讨论)
可以发现， \(p_2\) 选 \(A\) 的收益为 \(B_{p_2}^A=1\) ，选 \(F\) 的收益为 \(B_{p_2}^F=0 \times \mu\left(\theta_s \mid s\right)+2 \times\left(1-\mu\left(\theta_s \mid s\right)\right)=\) \(2\left(1-\mu\left(\theta_s \mid s\right)\right)\) 。
因为 \(\mu\left(\theta_s \mid s\right)>1 / 2\) ，则 \(p_2\) 选择 \(F\) 的收益为 \(B_{p_2}^F=2\left(1-\mu\left(\theta_s \mid s\right)\right)<1\) ，综上, \(S_2=A A_{\text {。}}\)
但是! \(p_1\) 为 \(\theta_s\) 时可以认为，反正 \(p_1\) 出什么信号， \(p_2\) 都会选择 \(A\) 行为。从博弈树上可以看到， \(p_1\) 释放 \(W\) 时，收益为 \(B_{p_1}^W=2 ， p_1\) 释放 \(S\) 时，收益为 \(B_{p_1}^S=3\) 。
那么， \(S_1\) 有可能偏离到 \(S_1=S W\) 去，所以 \((S S, A A, P)\) 不是PBNE。
ii) 同样考虑 \(p_1\) 释放 \(S\) 的情况。有: \(S_2=F A\)
此时，选 \(F\) 的收益为 \(B_{p_2}^F=0 \times P+2 \times\left(1-\mu\left(\theta_s \mid w\right)\right)=2\left(1-\mu\left(\theta_s \mid w\right)\right)\) ，
根据 \(2\left(1-\mu\left(\theta_s \mid w\right)\right)>1\) ，得到 \(\mu\left(\theta_s \mid w\right)<1 / 2\) 时， \(B_{p_2}^F>1\) 。
那么，如果 \(p_1\) 为 \(\theta_s\) 释放 \(S\) 信号，有 \(B_{p_1}^W=2 \rightarrow B_{p_1}^S=1\) ，是一个下降趋势；
如果 \(p_1\) 为 \(\theta_w\) 释放 \(S\) 信号，有 \(B_{p_1}^W=3 \rightarrow B_{p_1}^S=0\) ，也是一个下降趋势。
所以， \(p_1\) 不能为 \(\theta_s\) 时释放 \(S\) 信号，也不能为 \(\theta_w\) 时释放 \(S\) 信号。
综上， \((W W, F A, \mu)\) 为 \(\mathrm{PBNE}\) ，但需满足 \(\mu\left(\theta_s \mid s\right) \leq 1/2, \mu\left(\theta_s \mid w\right)=P\) 。

12 信号博弈
(Gibbons, 1992)(1) 求出下面信号博弈的一个混同完美贝叶斯均衡，其中两类发送者都选信号 R 。

(1) 图

(2) 下面的三类型信号博弈由自然的行动开始，没有在博弈树上表示出来，以同样的概率赋予发送者三种类型中的一种。求出一个混同完美贝叶斯均衡，其中三类发送者都选择信号 L 。
(3)求出(1)和(2)中其它的所有纯策略完美贝叶斯均衡。
解 ：我们令发送者为参与人1,接收者为参与人2。
(1) \(\left\{\sigma_1\left(t_1\right)=R, \sigma_1\left(t_2\right)=R, \sigma_2(L)=u, \sigma_2(R)=d, \mu\left(t_1 \mid L\right) \geq \frac{1}{3}, \mu\left(t_1 \mid R\right)=\frac{1}{2}\right\}\) .
(2) \(\left\{\sigma_1\left(t_1\right)=\sigma_1\left(t_2\right)=\sigma_1\left(t_3\right)=L, \sigma_2(L)=\sigma_2(R)=u, \mu\left(t_i \mid L\right)=\frac{1}{3}, \mu\left(t_3 \mid R\right) \leq \frac{1}{2}\right\}\)
(3)第(1)个信号博弈只有一个混同完美贝叶斯均衡，不存在其他纯策略完美贝叶斯均衡。第(2)个信号博弈还有一个（半）分离完美贝叶斯均衡，其中

13 考虑如下不完全信息动态博弈：自然首先选择博弈 G1 或者 G2，且选择 G1 的概率为 0.6。行参与人1，在观察到自然选择了哪个博弈之后，选择行动 A 或者 B。列参与人没有观察到自然的选择，但是他在观察到行参与人的行动之后，选择行动 A 或者 B。

(1)请证明这个博弈不存在分离均衡。（提示：这里行参与人的私人信息就是他的类型。）
(2)求出这个博弈的一个混同均衡。
(3)如果行参与人没有观察到自然的选择，他是否能得到更高的收益？

解： (1)共有两种可能的分离均衡
第一种是行参与人在 G1 时选择 A 在 G2 时选择 B 。这时列参与人将会根据行参与人的行动推断出博弈是 G1 还是 G2，故列参与人的最优反应是选择 A 不论行参与人选择了哪个行动，但是在给定列参与人的选择 A 之后，行参与人将在 G1 时从 A 偏离到 B，因此这种情况不是分离均衡。
第二种是行参与人在 G1 时选择 B 在 G2 时选择 A。同样的逻辑，这时列参与人的最优反应是选择 B 不论行参与人选择了哪个行动，但行参与人将会有动力在 G2 时从 B 偏离到 A，因此这种情况也不是分离均衡。
(2)共有两种可能的混同均衡
一种情况是行参与人在两个博弈都选择 B，此时列参与人的最优反应是 B，但行参与人将有动力在 G1 时偏离到 A，因此这种情况不是分离均衡。另一种情况是行参与人在两个博弈都选择 A，此时列参与人的最优反应是 A。行参与人在 G1 时的收益为 1，在 G2 时的收益为 2。为使行参与人没有激励偏离到 B，列参与人需要在观察到 B 时选择混合策略 \((\frac{1}{2}, \frac{1}{2})\) ，故列参与人的信念为：

(3)博弈的期望支付矩阵为：

当行参与人没有观察到自然的选择时，这个博弈的子博弈完美纳什均衡为：行参与人选择 B，列参与人观察到 A 时选择 A，观察到 B 时选择 B。故行参与人的均衡收益为 1.6，比第(2)问均衡中的收益高。直觉上讲，当行参与人观察到自然的选择时，他不能“可靠地”在 G1 时选择 B，从而列参与人在观察到 B 时将不会选择 B。

14 两个人合作开发一项产品。
能否成功与两个人的工作态度有关, 设成功概率如下:

再假设成功时每人有 4 单位的利益, 失败则双方都没有利益, 偷懒本身有 1 单位的利益。问该博弈无限次重复博弈的均衡是什么?
解 ：两个人的收益矩阵如下:

一次博弈纳什均衡为 (偷懒, 偷懒), 无法实现帕累托最优 (努力, 努力)。无限次博弈时, 对于A, 第一阶段选择努力,
(1) 若前 1 时刻选择均为努力, \(t\) 时刻也选择努力

(2) \(t\) 时刻选择偷懒, 则前面的行为均为偷懒

达到 (努力, 努力) 这个均衡, 使 \(\pi_A>\pi_A^{\prime}\) , 即 \(\delta>\frac{1}{2}\) , 采取触发策略，均衡为（努力，努力），合作产生。

15 市场进入博弈
一个完全垄断企业B正在垄断一个行业市场，另一个潜在的试图进入该行业的企业A，称A为进入者，B为在位者。A不知道B的成本特征，设B有两种可能的成本，即高成本和低成本。两种成本情况下的博弈矩阵如下图。假定B知道进入者A的成本为高成本，且与B为高成本时的成本相同，求其贝叶斯纳什均衡。

解 ：若信息是完全的，则当B为高成本时，唯一的精炼纳什均衡为（进入，默认），另一纳什均衡（不进入，斗争）是含有不可置信的威胁。当B为低成本时，唯一的纳什均衡为（不进入，斗争），即若A进入行业，具有低成本优势的B将通过降低价格将A逐出市场。由于存在行业进入成本，所以A被逐出市场后将有净的10单位进入成本的损失。当A不知道B的成本情况时，他的选择将依赖于他对B的成本类型的主观概率或先验概率密度。
设A对B是高成本的先验概率判断为 \(p\) ，则A认为B为低成本的概率为 \(1-p\) 。
如果A进入，其期望支付为 \(p(40) + (1 - p)( - 10)\) ；如果A不进入，其期望支付为0。
当且仅当 \(p(40) + (1 - p)( - 10) \ge 0\) 或 \(p\ge\frac{1}{5}\) 时，A选择进入；反之，当 \(p<\frac{1}{5}\) 时，A不进入。
于是，贝叶斯均衡为：（进入，默认），高成本， \(p>\frac{1}{5}\) ； （进入，斗争），低成本， \(p<\frac{1}{5}\) ；不进入， ）， \(p=\frac{1}{5}\) ，其中 表示可以是斗争，也可以是默认。

16 成本为私有信息的双寡头古诺博弈
两个厂商生产相同产品在市场上进行竞争性销售。第1个厂商的成本函数为 \(c_1=q_1\) ，其中 \(q_1\) 为厂商1的产量。第2个厂商的成本函数为 \(c_2=cq_2\) ，其中 \(q_2\) 厂商2的产量， \(c\) 为其常数边际成本。两个厂商的固定成本都为零。厂商2的边际成本 \(c\) 是厂商2的“私人信息”，厂商 1 认为 \(c\) 在 \(\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rfloor\) 上呈均匀分布。设市场需求函数为 \(P=4-q_1-q_2\) , 其中 \(P\) 为价格, 两个厂商都以其产量为纯战略, 问纯策略贝叶斯均衡为何?
解 : 给定 \(q_2\) , 厂商 1 的问题是

因 \(q_2=q_2(c)\) 。广商 1 不知道 \(c\) ，故目标函数为

一阶条件:

得$$\quad q_1=\frac{3}{2}-\frac{1}{2} \int_{\frac{1}{2}}^{3 / 2} q_2(c) dc \quad \quad \quad (1)$$
厂商 2 的问题是:

一阶条件: