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变限积分函数的求导

羽墨志

简书作者

0.284 2019-10-12 16:07 IP属地: 广东

一、定义

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，设 $x$ 为区间 $[a,b]$ 上的一点，考察定积分
如果上限 $x$ 在区间 $[a,b]$ 上任意变动，则对于每一个取定的 $x$ 值，定积分 $\int _a^xf(t)dt$ 都有一个对应值，所以它在区间 $[a,,b]$ 上定义了一个函数，记为
该函数就是 积分上限函数 。

二、变限积分函数求导公式

如果函数 $f(x)$ 连续， $\phi(x)$ 和 $\varphi(x)$ 可导，那么 变限积分函数 的求导公式可表示为
[推导过程]
记函数 $f(x)$ 的原函数为 $F(x)$ ，则有
则对 $\Phi(x)$ 运用 牛顿-莱布尼茨公式 $\int_a^bf(x)=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$ 可得
由函数和的求导法则
由复合函数的求导法则
由(2)式 $F'(x)=f(x)$ 可知 $F'[\varphi(x)]=f[\varphi(x)]$ $F'[\phi(x)]=f[\phi(x)]$ ，则(8)式可改写为

定理1 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a，b]$ 上连续，则积分上限函数 $\Phi(x)=\int _a^xf(t)dt$ 在 $[a，b]$ 上具有导数，且导数为：
令函数 $f(x)=\int_x^{2x}e^{t^2}dt$ ，则函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，运用 洛必达法则 (L'Hôpital's rule)则有
这是一个典型的变限积分函数的求导，根据变限积分函数求导公式(3)可得