时间反演对称（TRS）保护下拓扑绝缘体（一）：时间反演算符&做一个简单的TRS哈密顿量（BHZ模型）
当我们说一个 \times\times 体系是有 \times\times 对称性保护的，至少数学上要保证一件事情，这个体系的哈密顿量必然和该对称性的算符是对易的，对于 时间反演对称（Time-Reversal Symmetry） 保护的 拓扑绝缘体 ，那么要给出一个绝缘体的哈密顿量，它与时间反演算符对易。这一块内容的绝大多数难点，都是来源于时间反演算符的特殊性质。
时间反演对称
什么叫做时间反演对称？任何一本合格的高等量子力学教材[1]中都可以找到详细的讨论和细致的推导分析，这里简单介绍一下其构造思路：
从纯粹的物理角度，或者说实际角度上出发，我们先假定存在一个操作（算符）（记作 \hat{\Theta} ），能够给出一个态的时间反演态。时间反演对称很自然能够想到应当具有这样一种性质：假定通过某个算符得到时间反演态 \hat{\Theta}|\psi\rangle ,这个态演化 dt 时刻后的态 e^{-i\hat{H}dt/\hbar}\hat{\Theta}|\psi\rangle 应该等于态 |\psi\rangle 回溯 dt ，或者说演化 -dt 时刻后的态，然后进行时间反演，即 \hat{\Theta}e^{i\hat{H}dt/\hbar}|\psi\rangle （如题图），也就是 e^{-i\hat{H}dt/\hbar}\hat{\Theta}|\psi\rangle=\hat{\Theta}e^{i\hat{H}dt/\hbar}|\psi\rangle 。
由于要在极其任意微小的间隔内皆成立，那么一阶近似应该成立，得到 (1-i\hat{H}/\hbar)\hat{\Theta}=\hat{\Theta}(1+i\hat{H}/\hbar)\Rightarrow -i\hat{H}\hat{\Theta}=\hat{\Theta}i\hat{H} ，这就比较难办了，按照一般的思路，两边消去虚数单位，我们可以直接写出反对易关系： [\hat{H},\hat{\Theta}]_{+}=\{\hat{H},\hat{\Theta}\}=0 。然而量子力学中，由其他对称性，如平移对称算符，反演对称算符等的经验启发我们，当我说一个体系在 \times\times 操作保持对称的时候，其 \times\times 操作 应该和体系的哈密顿量保持对易关系 。 数学上，只有 [\hat{H},\hat{\Theta}]_{-}=[\hat{H},\hat{\Theta}]=0 这样我们才能构建共同的本征完全集，从而通过对称性来label简并的量子态。
怎么办？前面是从时间反演这个性质本身出发，后面是我们所期望的优良数学性质，前辈们表示：
然而代价是，我们必须引入一个共轭算符 \kappa ，具有性质：作用一个态，得到该态的共轭态，作用算符，有 \hat{\kappa} \hat{A}=\hat{A}^* \hat{\kappa} ，同时具有性质 \hat{\kappa}^2=1 ,时间反演算符必然要写作 \hat{\Theta}=\hat{\theta}\hat{\kappa} ，这样既满足 -i\hat{H}\hat{\Theta}=\hat{\Theta}i\hat{H} 也依然保证了有 [\hat{H},\hat{\Theta}]_{-}=[\hat{H},\hat{\Theta}]=0 。对时间反演算符本身应该具有的物理功能或者性质进一步分析，我们能够得到时间反演算符的具体形式，比方说，最常见的，对于无内禀自由度（或者不考虑其内禀自由度）的粒子，其时间反演算符就是 \hat{\kappa} 。自旋二分之一的粒子（内禀自由为2），其时间反演算符为 -i\sigma_y\hat{\kappa} 。
时间反演算符的两个基本却重要性质
- \hat{\Theta}^2=\pm1 ：来源于很自然的想法，一个态时间反演后再反演回来应该和原来的态相同，起码满足量子力学中的 U(1) 对称，即： \hat{\Theta}^2|\psi\rangle=e^{i\phi}|\psi\rangle .由前面知 \hat{\Theta}^2=\hat{\theta}\hat{\kappa}\hat{\theta}\hat{\kappa}=\hat{\theta}\hat{\theta}^* 从而得到 \hat{\theta}\hat{\theta}^*=e^{i\phi} ，两边同时乘以 \hat{\theta}^{\dagger}\Rightarrow \hat{\theta}^*=\hat{\theta}^{\dagger}e^{i\phi} ，将这个式子迭代一次，得到： \hat{\theta}^*=(\hat{\theta}^*)^Te^{i\phi}\Rightarrow \hat{\theta}^*=((\hat{\theta}^*)^Te^{i\phi})^Te^{i\phi}=\hat{\theta}^*e^{2i\phi} ，进而发现 e^{2i\phi}=1\Rightarrow e^{i\phi}=\pm1\Rightarrow \hat{\Theta}^2=\pm1 通常而言，-1的情况是non-trival并且我们非常感兴趣的。
- Kramers' degeneracy（克莱默简并） ：这个简并其实就说了这么一件事，一个态和其时间反演态具有共同的能量本征值（由 [\hat{H},\hat{\Theta}]_{-}=[\hat{H},\hat{\Theta}]=0 我们不难想到），同时一个态和其时间反演态是两个完全不同的态，这需要一点点证明，如下： \hat{\Theta}|\psi\rangle=\hat{\theta}\hat{\kappa}|\psi\rangle=\hat{\theta}|\psi^*\rangle \Rightarrow \langle \hat { \Theta } \phi | \hat { \Theta } \psi \rangle = ( \hat { \theta } | \phi ^ { * } \rangle ) ^ { \dagger } \hat { \theta } | \psi ^ { * } \rangle= | \phi ^ { * } \rangle ^ { \dagger } \hat { \theta } ^ { \dagger } \hat { \theta } | \psi ^ { * } \rangle = \left\langle \phi ^ { * } | \psi ^ { * } \right\rangle = \langle \phi | \psi \rangle ^ { * } .进而，我们可以验证 \langle \psi | \hat{\Theta}\psi \rangle ^ { * }=\langle \hat { \Theta } \psi | \hat { \Theta } ^2\psi \rangle =\pm\langle \hat { \Theta } \psi | \psi \rangle =\pm\langle \psi | \hat { \Theta }\psi \rangle ^* ，最后我们发现 ， 如果体系具有 \hat{\Theta}^2=-1 的性质 ，那么会有： \langle \psi | \hat { \Theta }\psi \rangle =0 .这说明态的时间反演态始终和该态始终正交。 \hat{\Theta} 和 \hat{H} 的对易也同时说明了两态具有相同的能量本征值。这说明具有时间反演对称的体系，其能量本征值至少具有二重简并。
具有时间反演对称的哈密顿量应该具有的性质
要构建时间反演对称的哈密顿量，我们需要分析一下这样的哈密顿量应该具有怎么的性质。
首先，对易关系需要 \hat{\Theta}\hat{H}(\vec{k})\hat{\Theta}^{\dagger}=\hat{H}(\vec{k})\Rightarrow \hat{\theta}\hat{\kappa}\hat{H}(\vec{k})\hat{\kappa}\hat{\theta}^{\dagger}=\hat{\theta}\hat{H}(-\vec{k})^*\hat{\theta}^{\dagger}=\hat{H}(\vec{k}) 。这里用到了性质 [注]: \hat{\Theta}\hat{H}\hat{\Theta}^{-1}=\hat{\Theta}\hat{H}\hat{\Theta}^{\dagger}=\hat{\Theta}\sum_{\vec{k}}|\vec{k}\rangle\langle\vec{k}|\otimes \hat{H}(\vec{k})\hat{\Theta}^{\dagger}\\=\sum_{\vec{k}}|-\vec{k}\rangle\langle-\vec{k}|\otimes \hat{\theta}\hat{H}(\vec{k})^*\hat{\theta}^{\dagger}=\sum_{\vec{k}}|\vec{k}\rangle\langle\vec{k}|\otimes \hat{\theta}\hat{H}(-\vec{k})^*\hat{\theta}^{\dagger} 这一关系 \hat{\theta}\hat{H}(-\vec{k})^*\hat{\theta}^{\dagger}=\hat{H}(\vec{k}) 在能带中如何体现呢？对 \hat{\theta}\hat{H}(-\vec{k})^*\hat{\theta}^{\dagger}|u(\vec{k})\rangle=\hat{H}(\vec{k})|u(\vec{k})\rangle=E(\vec{k})|u(\vec{k})\rangle 两边乘上 \hat{\theta}^{\dagger} 后并取共轭得到 \hat{H}(-\vec{k})\hat{\theta}^T|u(\vec{k})\rangle^*=E(\vec{k})\hat{\theta}^T|u(\vec{k})\rangle^* 。由于我们绘出布里渊区的能带图的时候会考虑 \vec{k} 对应的 -\vec k ，这揭示了一个态的时间反演态在 -\vec k 处得到和该态相同的能量，这也暗示了 E(\vec k)=E(-\vec k) ， 结合前面的克莱默简并，这说明了某个能量 E(\vec k) 的克莱默简并态不在别处，就在 -\vec k 处。 对于某些动量，若存在 \hat{\theta}\hat{H}(\vec{k})^*\hat{\theta}^{\dagger}=\hat{H}(\vec{k}) ,这些 \vec k 被称之为The Time-Reversal Invariant Momenta (TRIM)。这些 \vec k 中处于布里渊区中心的称之为 \Gamma 点。
[注]. 对于可能读到本文的初学者，这里说明一下，本文记号根据布洛赫定理，哈密顿量和能量本征态在k空间内写作 |\vec k\rangle\otimes|u(\vec k)\rangle \;with \;E(\vec k);\hat{H}=\sum_{\vec k} |\vec k\rangle \langle \vec k|\otimes\hat{H}(\vec k) 。
如何构建一个时间反演对称的哈密顿量？
重点来了，根据以上的分析，现在来谈构造一个时间反演对称哈密顿量的简单方法：
假设我们已经有了一个晶体的k空间下的Bulk哈密顿量 \hat{H} ,同时通过共轭算符得到 \hat{H}^*=\hat{\kappa}\hat{H}\hat{\kappa}^{\dagger} ,那么我们可以通过对这两个哈密顿进行coupling从而得到： \hat{H} _ { \mathrm { TRI } } = \left[ \begin{array} { c c } { H(\vec k) } & { C } \\ { C ^ { \dagger } } & { H(-\vec k) ^ { * } } \end{array} \right] ，实际体系中我们可以couple两层拓扑绝缘体得到。
这里总共存在 “3层自由度” ，一层是 \hat{H} 所拥有的内禀自由度（通常即自旋自由度）（本征矢 |u(\vec k)\rangle ）和外部自由度（通常也叫做轨道自由度）（本征矢 |k\rangle ），最后一层则是我们coupling了两层晶格（ \hat{H}(\vec k)\& \hat{H}(-\vec k)^* ），我们可以称这个自由度为"copy"自由度。我们可以定义这“层”自由度下的泡利算符为 \hat{s}_{x,y,z}=\hat{\sigma}_{x,y,z}\otimes\mathbb { I } _ { \text { external } } \otimes \mathbb { I } _ { \text { internal } } ，利用这三个算符可以把哈密顿量写作 \hat { H } _ { \mathrm { TRI } } = \frac { 1 + \hat { s } _ { z } } { 2 } \otimes \hat { H } + \frac { 1 - \hat { s } _ { z } } { 2 } \otimes \hat { H } ^ { * }+ \frac { \hat { s } _ { x } + i \hat { s } _ { y } } { 2 } \otimes \mathbb { I } _ { \text { external } } \otimes \hat { C } + \frac { \hat { s } _ { x } - i \hat { s } _ { y } } { 2 } \otimes \mathbb { I } _ { \text { external } } \otimes \hat { C } ^ { \dagger } 这样写虽然看上去比较长，但方便我们对各“层”自由度分别操作。然而让 \hat{H} _ { \mathrm { TRI } } 真正具有时间反演不变性，耦合项还需要格外的条件。
我们目前只需要"copy"自由度满足时间反演对称，即在时间反演算符 \hat {\Theta} =- i \hat {s} _ { y } \hat{\kappa} 下保持对称（注意，这个时间反演算符是 \hat{\Theta}^2=-1 的）： \left(- i \hat { s } _ { y } \hat{\kappa} \right) H _ { \mathrm { TRI } } \left( -i \hat { s } _ { y } \hat{\kappa} \right) ^ { - 1 } = \left[ \begin{array} { c c } { 0 } & {- 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { c c } { H ^ { * } } & { C ^ { * } } \\ { C ^ { T } } & { H } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ {- 1 } & { 0 } \end{array} \right]= \left[ \begin{array} { c c } { H } & { - C ^ { T } } \\ { - C ^ { * } } & { H ^ { * } } \end{array} \right]
则耦合项满足的条件为 \hat { C } = - \hat { C } ^ { T } 。当然，最简单的情况就是 \hat{C}=0 。这里小谈一下 \hat{\Theta}^2=1 的情况，此刻时间反演算符可为 \hat{\Theta}=\hat{s}\hat{\kappa} ，同上面相同步骤可知耦合项需满足的条件变为 \hat { C } = \hat { C } ^ { T } 。事实上，得到 \hat{\Theta}^2=1 的时间反演对称的哈密顿量根本不必这么麻烦，对任意 \hat{H} ,可构造 \hat{H}_{\text{TRI}}=\frac{\hat{H}+\hat{H}^*}{2} 满足 \hat{\Theta}=\hat{\kappa} 下的时间反演对称。
BHZ模型
前面介绍并且简单分析了二维Chern绝缘体的一个典型的模型：QWZ模型
通过以上构造方法：： \hat{H} _ { \mathrm { TRI } } = \left[ \begin{array} { c c } { H(\vec k) } & { C } \\ { C ^ { \dagger } } & { H(-\vec k) ^ { * } } \end{array} \right] 可以得到BHZ模型的Bulk哈密顿量：
\hat{H}_{\text{BHZ}}(\vec{k})=\left[ \begin{array} { c c } { \hat{H}_{\text{QWZ}} } & { C } \\ { C ^ { \dagger } } & { \hat{H}_{\text{QWZ}}^ { * } } \end{array} \right]=\hat { s } _ { 0 } \otimes \left[ \left( u + \cos k _ { x } + \cos k _ { y } \right) \hat { \sigma } _ { z } + \sin k _ { y } \hat { \sigma } _ { y } \right) ] + \hat { s } _ { z } \otimes \sin k _ { x } \hat { \sigma } _ { x } + \hat { s } _ { x } \otimes \hat { C } \\=\left( \begin{array}{cccc} u+\cos k_x+\cos k_y & \sin k_x-i \sin k_y & C_{11} & C_{12} \\ \sin k_x+i \sin k_y & -u-\cos k_x-\cos k_y & C_{21} & C_{22} \\ C_{11}^{\dagger } & C_{12}^{\dagger } & u+\cos k_x+\cos k_y & -\sin k_x-i \sin k_y \\ C_{21}^{\dagger } & C_{22}^{\dagger } & -\sin k_x+i \sin k_y & -u-\cos k_x-\cos k_y \\ \end{array} \right)
对耦合 C 的不同取值存在四种情况： \hat{\Theta}^2=\pm1,\hat{\Theta}^2=+1\;\&\; \hat{\Theta}^2=-1, 不存在时间反演对称。两种对称都存在的情况时候 C=0 。这个模型的实际对应（QSHE）和深刻意义可以看下B. Andrei Bernevig,Taylor L. Hughes,Shou-Cheng Zhang在2006年关于HgTe／CdTe量子阱的文章[3]和物理所的硬核科普[4]。
同前面讨论陈绝缘体（QWZ模型）的情况一样，我们通过傅里叶变换将这个哈密顿转化为实空间中的二维具体平移平移对称性的哈密顿量，然后使一个方向保持周期性边界条件，一个方向取有限的格子（从而给出开边界），我们可以画出（不同耦合下的）能带：
上图从左到右依次为 \hat{C}=0;\hat{C}=0.3\hat{\sigma}_x;\hat{C}=0.3\hat \sigma_y 。（由于自己画的图太过于质朴(chou),这里引用参考文献[1]的图， 其符号 \mathcal { T } 即本文中的 \hat{\Theta} ）。这张图说明，就算存在coupling，只要保证这个coupling是 \hat{\Theta}^2=-1 的，即不破坏其-1的时间反演对称性，那么边缘态依然保持完好。这个性质的更广义的证明留到后面讲，至少通过这个模型我们能够非常直观的理解这个问题。
BHZ模型中存在的边缘态是什么?
这个问题之前，我想提出两个问题：“ 为什么会出现 \times 形状的能带？以及为何这条带对应边缘态？”
这是初学者避不开的坎，回答这两个问题贯穿到拓扑绝缘体的两个关键：体带的对称性和拓扑性。在Chern绝缘体中，我们可以通过研究体系的Berry curvature相关的pumped current进而理解边缘导态的存在，进而通过Chern number可以进行对体系拓扑平庸与否进行判断。 然而对应含时间反演对称体系，如果去计算Chern number，会发现（证明）其始终为0（证明待补充）。这不但迫使我们去寻找一个新的拓扑不变量（也就是著名的 Z_2 不变量），也启发我们思考BHZ模型中“ \times 形能带 ”和“ 边缘态 ”的本质。这一点后面理清再更吧。
End
本文絮絮叨叨地主要介绍了时间反演对称和重要的一些性质，篇幅所限略去了具体构造时间反演算符的过程，以及一个简单的构建时间反演对称哈密顿量的方法，以及构造的一个非常著名的例子：BHZ模型。本系列会继续更新，包括如何理解“对称保护拓扑”这样一件事（二）等。
参[ban]考[yun]文[lai]献[yuan]
- Sakurai - 《Modern Quantum Mechanics》关于时间反演的章节
2.《A Short Course on Topological Insulators: Band-structure topology and edge
states in one and two dimensions》
3. B. Andrei Bernevig, Taylor L. Hughes, Shou-Cheng Zhang.《Quantum Spin Hall Effect and Topological Phase Transition in HgTe Quantum Wells》.Science 314, 1757 (2006).DOI: 10.1126/science.1133734
4. 物理所戴希老师的文章：
2019.2.9更新：增加了BHZ模型的内容，本来写了一篇结合几篇文献专门讲BHZ模型的内容，但是发现有很多东西自己也没有理清楚，所以干脆在这篇文章中补充下就是了。
2019.2.8更新：增加了少许细节
