【国际数学竞赛】高次韦达定理(Vieta's Theorem)

韦达定理在学习一元二次方程 ax^2+bx+c=0 时就接触过:

这里我们要讲的是高次韦达定理，也就是 高次方程 P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}=0 根与各系数 a_i 之间的关系。

注： a_i 都为实数，且 a_n\ne 0 .

根据代数基本定理， P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}=0 是一元n次方程，在复数域下必定含有n个根： x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{n} .

根据 Factor Theorem ， P(x)=a_{n}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \cdots\left(x-x_{n}\right) ,所以有

a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}=a_{n}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \cdots\left(x-x_{n}\right)

而上述等式右边展开后等于下式

a_{n} x^{n}-a_{n}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right) x^{n-1}+a_{n}\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+\cdots+x_{n-1} x_{n}\right) x^{n-2}+\cdots+(-1)^{n} a_{n} x_{1} x_{2} \cdots x_{n}

注：上述展开可以借助排列组合来理解，类比二项式定理.

于是对比 x^i 前各系数有：

\begin{array}{c}{a_{n}=a_{n}} \\ {a_{n-1}=-a_{n}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)} \\ {a_{n-2}=a_{n}\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+\cdots+x_{n-1} x_{n}\right)} \\ {\vdots} \\ {a_{0}=(-1)^{n} a_{n} x_{1} x_{2} \cdots x_{n}}\end{array}

于是就有了高次韦达定理

特别的，当n=2时就是我们常见的一元二次方程的韦达定理。

在竞赛中，n=3用到比较多，因为借助整体代换会有漂亮的表达式：

高次韦达定理是多项式理论中非常重要的内容，我们能从它推得很多好的结论和重要的定理。

（1）复数根都是成对出现的；

根据高次韦达定理，所有根的和、乘积等都是实数( a_i\in R )，如果有复数根一定是与其共轭一起成对出现的， 即 a+bi 与 a-bi 一起出现。
1. 那么告诉我们一个复数根，其实是告诉了我们方程的两个根；
2. 如果多项式的度(Degree of the Polynomials，多项式最高次)是奇数，那么一定存在实数根，因为复数根成对出现；

下面我们来看一下这道竞赛题：

设方程的前两根为m，n。由题可知m*n为13+i，说明m与n不是共轭的。那么根据复数根是成对出现的，后两根一定是m，n的共轭复数，不妨设为m', n'。
根据题意： m \cdot n=13+i, m^{\prime}+n^{\prime}=3+4 i \Longrightarrow m^{\prime} \cdot n^{\prime}=13-i, m+n=3-4 i
接着根据高次韦达定理可知： b=m m^{\prime}+n n^{\prime}+m n^{\prime}+n m^{\prime}+m n+m^{\prime} n^{\prime} ，
于是， b=(m+n)\left(m^{\prime}+n^{\prime}\right)+m n+m^{\prime} n^{\prime}=\boxed{51} 。

（2）试根法

因为 x_{1} x_{2} x_{3} \cdots x_{n}=(-1)^{n} \frac{a_{0}}{a_{n}} ，那么如果存在一个根 \frac{p}{q} ,那么 p 是 a_0 的因子， q 是 a_n 的因子。

试根法是解高次方程根的常用方程，详细可参阅：

一己拙见，欢迎交流指正~~

想了解更多数学知识，可参阅