未来想做凝聚态理论,该如何规划之后的学习?

题主下学期大三,选了凝聚态专业,未来想往凝聚态理论的方向发展,但是在了解了一些情况后发现培养方案内的数学课程不够,因此打算从今年暑假开始自学数学知识。…
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这篇回答是写给十年前的自己,那一年我大三,在尝试了凝聚态超导实验之后(也就是磨样品、烧炉子),我基本已经决定从事凝聚态理论的研究,但是那个时候凝聚态物理在我看来是一片汪洋大海,而我连一叶扁舟也没有,所以我写下这个回答,希望能给当初的自己一些建议,或许也能部分回答题主的问题。


大三结束,按照国内的培养计划,基本上已经学完了四大力学:分析力学、电动力学、量子力学(非相对论)、热力学与统计力学

在这四门课的基础上,将会学习凝聚态物理的前身——固体物理学。

本科的固体物理学研究的对象可以归结为:周期结构中的单粒子物理。

固体中最基本的单元可分为离子实和电子。

离子的振动在简谐近似下可以用无相互作用的弹性波来描述,在低温下弹性波可以量子化为声子,不同的晶格结构会导致声子具有不同的色散关系。

电子在周期结构中的传播由Bloch能带理论描述,在此基础上可以建立起绝缘体、半导体、金属的能带论图像。

基本上掌握了无相互作用的声子和电子即掌握了本科固体物理学的核心。

在这些单粒子图像上,利用本科学过的处理单粒子统计力学,可以求得配分函数,及所有低温的热力学量,可以对固体低温性质获得理解。

超出单粒子图像的部分,如声子的非简谐效应导致的晶体膨胀,可作为补充知识(意味着固体的性质绝不仅仅是单粒子图像可以完全描述的)

固体物理学的经典教材是Ashcroft&Mermin的Solid State Physics。

中文经典教材是黄昆的固体物理学(注意,不是被改编得乱七八糟的那本,而是北大出版的重排版)。

Ashcroft&Mermin的Solid State Physics这本书对超导部分的讲解流于泛泛,而黄昆的固体物理学对于磁性和超导均没有深入的讨论,不过严格来说,磁性和超导的本质在于电子关联,在固体物理学我们一般只能对其有唯象的认识。


在步入研究生阶段,固体物理学的进阶课程是固体理论。

固体理论的核心是元激发。

声子即是晶格集体运动的元激发。

固体中的电子,本质是基于朗道费米液体理论的元激发。

固体物理中,我们不系统考虑声子的非简谐效应,即多声子的散射,也不考虑电子的相互作用,即电子的散射,更是采用了Born-Oppenheimer近似,完全忽略了电声耦合,即电子与声子的散射。

固体理论开始关注弱关联体系。

考虑电子的相互作用的影响,能带理论上升到密度泛函理论,使得我们能从第一性原理计算电子能带结构。

考虑电子的关联效应,我们能解释各种磁有序现象,包括铁磁性、反铁磁性、亚铁磁性,但是主要还是对于局域磁性的图像,迅游磁性的理论还在完善中。

考虑电子与声子的耦合,我们能解释超导现象的根源,即电声耦合产生的吸引相互作用导致电子配对形成Cooper对,在低温下发生相位相干从而产生超导,超导现象本质上是宏观量子现象,量子力学的相位是理解超导电性的关键。

所以固体理论课程的核心是朗道费米液体金属理论、磁性、超导。

超导BCS理论的建立基本上是传统固体理论的巅峰之作。

固体理论的经典教材是Ziman的Principles of the Theory of Solids。

中文的优秀教材是李正中的固体理论。


固体物理学的下一门进阶课程是多体理论。

BCS最初从变分法来处理超导这样一个量子多体问题,解释了超导的本质,但是在处理具体问题时不实用。苏联朗道学派的吸收了量子场论的思想,用格林函数来处理统计物理中的量子多体问题,特别是在超导理论中取得了巨大的成功,如Gorkov的反常格林函数,Gorkov从BCS理论出发,在相变点附近得到了Ginzberg-Landau理论,Abrikosov&Gorkov建立的dirty超导体的理论。

格林函数为传统固体理论建立了理论框架,在这个框架下,声子散射、电声耦合、电子相互作用都得到了有效处理,甚至为朗道费米液体理论建立了微观基础。

多体理论经典经典教材是称为AGD的统计物理学中的量子场论方法,这本书有俄文直译版,是由郝柏林院士翻译的。

比较浅显易懂的有Fetter的Quantum Theory of Many-Particle Systems。

比较通用(试图包罗万象但也更像字典的)是Mahan的Many Particle Physics。

但是传统多体理论的本质是多体微扰论,随着分数量子霍尔效应和高温超导的出现,传统的微扰论不再适用,关键是这些体系是强关联电子体系,相互作用不能当初微扰,而朗道的绝热延拓也不再适用,这把我们引向了现在凝聚态的核心问题:强关联电子体系。


固体物理在七八十年代渐渐被称为凝聚态物理,关于这一点,冯端院士的扛鼎之作——凝聚态物理学中的综览有很好地表述。

一方面研究对象从传统的周期结构推广为非周期结构,如准晶,甚至包括软物质,如液晶,聚合物等

一方面对于凝聚态物质的理解也超越传统的准粒子图像,对电子关联也给与了更多关注,如Mott绝缘体无法用能带论解释,无序体系会有准粒子局域化,如Anderson绝缘体。

更重要的是凝聚态的核心概念是:对称破缺

在朗道对称破缺的框架下,我们可以理解凝聚态所具有的物性——广义刚度,低能的Goldstone modes,拓扑缺陷,我们也能理解大部分相变的本质,即对称性的自发破缺。

凝聚态物理的包罗万象使得几乎不可能有一本教材可以囊括所有研究体系,大多数教材即介绍一些固体理论,然后介绍自己擅长的领域,然后再加个书名——凝聚态巴拉巴拉。

这里强烈推荐冯端院士凝聚态物理的综览一节,以及结合自己的研究方向,选择性地翻阅相关章节。

还有一本软物质凝聚态的经典教材Chaikin&Lubensky的Principles of Condensed Matter Physics,对于硬物质凝聚态物理的研究具有启发意义。


凝聚态物理的理论框架是低能有效理论,理论的核心是重整化群。

重整化群最初是在研究相变和临界现象中发展起来的,从Landau-Ginzburg平均场理论,到引入涨落,再对相变点附近临界现象的标度律和普适性的理解,最后由Wilson建立RG理论,并且成功解释了Kondo问题。

当代凝聚态的研究吸收了重整化群的思想,比如Shankar的RMP即从RG的框架下理解朗道费米液体理论,RG为绝热延拓提供了微观基础。现在对于Anderson局域化的理解,建立的标度理论,也能用RG的框架得到系统的解释。

凝聚态场论在强关联问题没有得到系统解决之前,一直是一个缓慢发展的过程,当下最时髦的教材是Altland&Simons的Condensed Matter Field Theory,还有很多大佬的专著,里面包含了各自擅长的领域如文小刚、Nagaosa、Tsvelik、Fradkin,酌情阅读。

中文有一本史俊杰&刘自信&刘玉芳的固体量子场论的专著,但是我没有阅读过。

低能有效理论和重整化群在统计场论中得到了很好地阐述,区别在于凝聚态场论更关注电子多体体系(费米子),而统计场论一般论述经典多体体系(玻色子的经典极限),对于热相变有了系统理论,而量子相变的理论还在缓慢发展中。

我见过的最优秀的统计场论教材是Kardar的Statistical Physics of Fields,抹去最后两章关于作者在非平衡统计的研究,这本书必将成为统计场论的经典教材。


最后我想给十年前的自己推荐Anderson的两本书

Concepts in Solids

Basic Notions Of Condensed Matter Physics

以及三篇文章

Anderson, P. W. (1972). More is different. Science, 177(4047), 393-396. (凝聚态宣言)

Laughlin, R. B., & Pines, D. (2000). The theory of everything. Proceedings of the National Academy of Sciences, 97(1), 28-31.

Weinberg, S. (2003). Scientist: Four golden lessons. Nature, 426(6965), 389. (温伯格建议go for the messes,我的理解是要去实验结果比理论多的研究领域)

最好的方法是找个做凝聚态理论的老师带你,做一做具体的题目能让你更好的感受到物理科研是什么样子的。书本上的知识被创造出来都是带有目的的,我非常喜欢强调任何物理方法都有其motivation,有的时候自己读着读着容易迷失在推导之中。有老师或者任何senior的人带着还有一点好处,正如 QED 同学所说, 无监督学习 有很大概率学成物理书收藏家或者物理书评论家。而且通常而言凝聚态场论的书并不好读,贴一个我在另一位答主下面的评论:凝聚态物理本身就是很杂很乱并没有什么统一的picture,如果是带着某种目的来读(比如学某种技术)通常体验还可以。换句话说,从具体的问题入手凝聚态比读书入手凝聚态更合适。

另外我还想强调一点,本科生并不需要太早确定自己以后的发展方向,对各个领域多一点了解总是很有益处的,本科生科研是给 学有余力 的同学准备的。