复变函数与积分变换-考点汇总

还有几天就要期末考试啦，花了点时间把前面写的复变函数章节总结一下~

因为篇幅不会太长（让大家看起来舒适一点），每个章节内容不会太多，如果想看完整的内容，可以打开每个章节里面给的链接！（羸弱萌新想捞一下自己）

（づ￣3￣）づ╭❤～

先放一张知识点思维导图：

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一、复数与复变函数

复数及其运算

除了一些简单概念（如实虚部、共轭、复平面、辐角），感觉这节最重要的是复数的表示和运算。

表示有两种：一种是 三角形式 ，一种是 指数形式 ：

• 三角形式： z=r(cos\theta+isin\theta)
• 指数形式： z=re^{i\theta}

然后就是运算，运算里最需要关注的是 几何意义 和乘幂开方。几何意义详见链接文章里，乘幂和开方重点记住并且会用De Moivre公式就行。

最后就是复球面，由此得出无穷远点的概念。

平面点集

首先还是一些概念（如邻域、去心邻域、内点、开集、闭集、边界、区域、连通等）；

然后是平面曲线如何用复数表示，比如：

平面曲线 x=x(t) , y=y(t) （ a\leq t\leq b ）表示为复数形式，就成了下面的形式：

z(t)=x(t)+iy(t) （ a\leq t\leq b ）

最后单连通区域和多连通区域要知道它们的区别，没有洞和镂空的点的区域为单连通，否则为多连通

复变函数

这里要注意的点略多，首先是极限，复变函数的极限要考虑多个方向逼近；

其次是 连续的充要条件 ，就是实虚部函数都连续；

这节最后的求导和微分，当作实变函数学就行，只是要注意在复变函数里 z 的逼近是多方向的。

二、解析函数

解析函数的概念与C-R方程

在某一块（点）解析就是就是指在那一块（点）处处可导，不解析的点就是奇点；

然后大部分见到的解析函数，都是由多个初等解析函数加、减、乘、除（分母不为零）得到；

对于C-R方程，要记住两个式子： \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} ， \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}

然后就有了复变函数在某点可导的充要条件：实虚部函数都在这点解析，且满足C-R方程。

初等函数及其解析性

• 指数函数：

w=e^{z}=e^{x}(cosy+isiny) ，所以可以看出其性质和实部 x 没啥关系，

然后这里还有7条性质（具体见相应文章），重点关注一下解析性。

• 对数函数

直接理解为楼上指数函数的反函数，不过要注意 区分 lnz 和 Lnz ，即是否为主值；

同时要注意其定义域是除 z=0 以外的全体复数；

然后这里有4条性质，包含 lnz 和 Lnz 的解析性。

• 幂函数

这里注意指幂变换！ 即 w=z^{a}=e^{aLnz} ， 其中 z\ne0 、 \infty 、 a 为负数；

这里重点关注 a 的三种情况导致的三条性质（包含解析性）

• 三角函数和反三角函数

主要利用 cosy=\frac{e^{iy}+e^{-iy}}{2} ， siny=\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i} 实现复数与三角函数的转化；

这里有7条性质，重点关注一下解析性。

• 双曲函数和反双曲函数

虽然这一块考的不是很多，主要利用 coshy=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2} ， sinhy=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2} ，

这里也有6条性质 ，主要还是变换式。

调和函数

什么是调和函数：

一个二元函数 \varphi(x,y) ，有二阶连续偏导数，且满足 \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial y^{2}}=0 ，那它就是调和函数。

关于解析函数和调和函数的联系，可以去文章里详细看。

三、复变函数的积分

复变函数积分

首先要明白复变函数的积分与实变函数的积分学起来差别不大，值得注意的是，部分积分式的计算方法不同于实变函数。除了常规的积分法（找原函数、凑微分法、分部积分法等），还会用到柯西积分定理、复合闭路定理、留数积分变换等等。

存在条件：要求待积函数在积分曲线上连续（即转化到实虚部函数连续）；

积分性质：详见相应文章。

柯西积分定理

什么是柯西积分定理呢？简要地说：

• 有一个单连通区域D，
• 给你一个曲线C，这个曲线C在区域D里面，
• 再给你一个函数f(z)，这个函数f(z)在区域D里面解析，在C上也解析

那么由上面三点就能得出： f(z)沿着C的积分为0 ！！！

至于变上限积分和原函数，有一个定理就是说：

如果某函数在一个单连通区域D内解析，那它的原函数也在区域D内解析。

还有一个推论，如果 C 是一个可求长简单闭曲线，点 a 不在 C 的边界上，那么：

当 a 在 C 外部时， \oint_{C}^{}\frac{dz}{z-a}=0 ;

当 a 在 C 内部时， \oint_{C}^{}\frac{dz}{z-a}=2\pi i ;

具体其他的推论还是看相应文章啦~

复合闭路定理

这个定理不是很好用文字来描述，看图吧：

如上图所示，所谓复合闭路定理，就是把图中 C_{0} 上的积分转化到 C_{1} 、 C_{2} 、…、 C_{n} 上各积分的和。

那这有什么用呢？

我现在让你求这个 C_{0} 上f(z)的积分，但是里面有好几个奇点，那我们就没法用柯西积分定理，而且也没法用别的常规方法求。这个时候我们就用几个以各奇点为圆心的超小圆，来把奇点扣掉！！

那么利用复合闭路定理，我们就只要求每个超小圆的积分，最后全加在一起就行。

详见相应文章里面的公式和推论。

柯西积分公式

现有一条简单正向闭曲线C围成了一个区域D，f(z)在D上解析，在C上连续，就有：

柯西积分公式： f(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}^{}\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz （式1）

\oint_{C}^{}\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz=2\pi if(z_{0}) （式2）

柯西积分公式有两个用途：

• 计算某个区域内任一点的函数值，都可以用f(z)在D的边界C上的积分表示（如式1）；
• 提供了计算某些复变函数沿封闭路径积分的一种方法（如式2）。

还有高阶求导公式： f^{(n)}(z_{0})=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{C}^{}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}dz

与一些定理，详见相应文章。

四、解析函数的幂函数表示

复级数

对于复数列 \{c_{n}\}=a_{n}+ib_{n} ，数列的每一项都是复数，且重点是后面的实虚部。

其实想要简化问题的话，把这里的复级数看成实数级数理解也可以。因此收敛性、发散性都差不多。

复数列与实数列一样分为两种：复数项、复变函数项，一个由复数组成，一个由复变函数组成。

具体见相应文章，这里不多赘述。

幂级数

同样有Abel定理， 比值法 和 根值法 求收敛半径等，以及幂级数的运算性质，这里也不展开了。

泰勒展开

泰勒展开式形式与实数列级数一样，而展开条件则是解析！解析！解析！

（可以看到在后面每个章节的定理前提条件中，都是要求函数解析，不能涵盖奇点的）

展开方式也是一样分为直接展开（求导），和间接展开（用已知展开式），所以一些常用的泰勒展开式（麦克劳林展开式）是要背下来的，详见相应的文章，里面有常用展开式汇总哦。

洛朗展开

在解析点处我们能用泰勒展开，但是在不解析点处我们就要用洛朗展开。

洛朗级数包含正幂项和负幂项，这是与泰勒级数最大的不同。

但是洛朗级数展开也是有前提的：就算在奇点 z_{0} 处不解析，那在 z_{0} 的邻域内还是要解析的，然后你就可以在这个邻域内展它！！！

怎么展呢？大部分情况还是利用已有泰勒展开式的形式去展开啦，那咱要问了，那这和泰勒还有啥区别？

泰勒不用考虑奇点！！！

这里要考虑到展开的区域（ z_{0} 的邻域）范围了，有时候给我们函数 f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)} ，展开区域为 1<\left| z-2 \right|<\infty ，很显然我们要裂项然后分别展开，但是已知展开式 \frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}{z^n} 的展开范围是 |z|<1 ，那我们就要通过变换使给出的展开区域符合 <1 ，即取倒数，得 0<\frac{1}{\left| z-2 \right|}<1 ，就能满足条件了，最后把 \frac{1}{\left| z-2 \right|} 作为一个整体展开就行。

五、留数及其应用

孤立奇点

首先最重要也最基础的概念就是孤立奇点。

三类孤立奇点，要熟悉，要知道他们的意义是什么，比如可去奇点，就理解为高数里的可去间断点，去不去它对图象没有影响。具体见相应文章。

然后极点与零点的关系，大致是一个倒数的关系。

再者就是无穷处的孤立奇点，才去对无穷的最有效手段之一——取倒！！！取完倒数，无穷就一蹶不振了。

留数

留数与洛朗级数密不可分，留数就是 a_{-1} ；

然后就是留数的计算。

三种孤立奇点，计算的方法各不相同，考一级极点处的留数居多，因为它有两种求解方法：

• 一是去分母，取极限；
• 二是看成分子分母两个函数，然后分母求导取极限。

留数定理：

看这个图，现在要求某函数在这个图中该圈上的积分，但看着满是奇点的圈，实在下不去手，用留数定理就能解决这类问题。留数定理能帮助我们将这个问题转化成：

求图中这三个含奇点的红圈的积分，并加起来，就是你要的结果。是不是很神奇？

最后就是无穷远点的留数，实际上就是 -a_{-1} 。

利用留数计算实积分

分为三种实积分：

形如 \int_{0}^{2\pi}R(cos\theta ,sin\theta)d\theta 的积分；

形如 \int_{-\infty}^{+\infty}R(x)dx 的积分；

形如 \int_{-\infty}^{+\infty}R(x)e^{i\alpha x}dx (\alpha >0) 的积分；

六、Fourier变换

终于到积分变换了，前面那么多的铺垫 ε(┬┬﹏┬┬)3

Fourier积分公式

积分公式比较长……

先看重点，Fourier积分定理的前提条件（ 很重要！！！ ）

• 函数 f(t) 在 (-\infty,+\infty) 上连续或只有有限个第一类间断点，且至多只有有限个极值点（Dirichlet条件）；
• 函数 f(t) 在 (-\infty,+\infty) 上绝对可积（即 \int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|dt 收敛）。

此时有积分公式： f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[ \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt \right]e^{i\omega t}d\omega

Fourier变换

只要掌握下面四个式子就行：

像原函数： f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega ;

像函数： F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt ;

指数衰减函数： \begin{equation}f(t)=\begin{cases} 0&\mbox{t}<{0}\\ e^{-\beta t}&\mbox{t}\geq{0} \end{cases} \end{equation} (\beta >0) ;

单位阶跃函数： \begin{equation}f(t)=\begin{cases} 0&\mbox{t<0}\\ 1&\mbox{t>0} \end{cases} \end{equation}

δ函数及其Fourier变换

δ函数： \begin{equation}f(t)=\begin{cases} 0&\mbox{t}\ne{0}\\ \infty&\mbox{t}={0} \end{cases} \end{equation} ，且 \int_{-\infty}^{+\infty}\delta (t)dt=1 ;

δ函数的Fourier变换：

像函数 F(\omega)=1 ，像原函数 \delta(t)=\mathcal{F}^{-1}[1]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}1\cdot{e^{i\omega t}}d\omega

单位阶跃函数的Fourier变换：

像函数 F(\omega)=\frac{1}{i\omega}+\pi \delta (\omega)

Fourier变换的性质

一共 7个性质 ，详见相应文章。

Fourier变换的卷积

卷积公式很简单： f_{1}(t)\ast f_{2}(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)d\tau

卷积定理：

已知 \mathcal{F}\left[ f_{1}(t) \right]=F_{1}(\omega) ， \mathcal{F}\left[ f_{2}(t) \right]=F_{2}(\omega) ，

则有 \mathcal{F}\left[ f_{1}(t)\ast f_{2}(t) \right]=F_{1}(\omega)\cdot F_{2}(\omega)

七、Laplace变换

Laplace变换的概念

Laplace变换的前提条件比Fourier广！！！

首先Laplace变换公式： \mathcal{L}\left[ f(t) \right]=F(s)=\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt

其次我们来看Laplace变换存在的条件：

• f(t) 在 t\geq0 的任何有限区间上分段连续；
• 当 t\rightarrow+\infty 时， f(t) 的增长速度不超过某一指数函数（保证可积）

周期函数的Laplace变换公式： \mathcal{L}\left[ f(t) \right]=\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}f(t)e^{-st}dt

Laplace变换的性质

一共 10个性质 ，详见相应文章。

Laplace逆变换

这一节我们要知道两个式子，

第一个是反演积分公式： f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\beta-i\infty}^{\beta+i\infty}F(s)e^{st}ds (t>0) ;

第二个是逆变换计算式： \frac{1}{2\pi i}\int_{\beta-i\infty}^{\beta+i\infty}F(s)e^{st}ds=\sum_{k=1}^{n}{Res\left[ F(s)e^{st},s_{k} \right]} ;

综合上面两个式子，得： f(t)=\sum_{k=1}^{n}{Res\left[ F(s)e^{st},s_{k} \right]}

Laplace变换的卷积

这里的卷积其实与Fourier变换里的卷积一样，只是积分区间变了，从 (-\infty,+\infty) 变成 (0,t) ，

f_{1}(t)\ast f_{2}(t)=\int_{0}^{t}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)d\tau

卷积定理也是和Fourier变换里的一样，

已知 \mathcal{L}\left[ f_{1}(t) \right]=F_{1}(s) ， \mathcal{L}\left[ f_{2}(t) \right]=F_{2}(s) ，

则有 \mathcal{L}\left[ f_{1}(t)\ast f_{2}(t) \right]=F_{1}(s)\cdot F_{2}(s)

Laplace变换的应用

主要是求解三种微分方程：

• 常系数的常微分方程；
• 常系数线性微分方程组；
• 微分积分方程

核心思想只有一个， 两边取Laplace变换 。

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好啦！终于写完了，一学期的复变告一段落了奥，下学期见