2019年浙江高考解析几何赏析（辗转相除求最大公因式，单一变量求最值）

21. 如图，已知点 F\left(1,0\right) 为抛物线 y^2=2px\left(p>0\right) 的焦点，过点 F 的直线交抛物线于 A,B 点,,点 C 在抛物线上，使得 \mathrm{\Delta ABC} 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q ，且 Q 在点 F 右侧,记 \mathrm{\Delta AFG},\mathrm{\Delta CQG} 的面积为 S_1,S_2 .

（1）求 p 的值及抛物线的准线方程；

（2）求 \frac{s_1}{s_2} 的最小值及此时点 G 的坐标.

（1） \frac{p}{2}=1\Rightarrow p=2\Rightarrow x=-1

（2） 预备：

初学抛物线，一些有水平的老师就会强调抛物线与直线联立，应当如何选择直线的设法。抛物线是横着摆的时候，我们得设带有横截距的直线，而且还有二级结论。

\begin{cases}y=2px\\ x=my+a\end{cases} \Rightarrow y^2-2pm-2pa=0 \Rightarrow y_1+y_2=2pm 和 y_1\cdot y_2=-2pa

将 y_1^2=2px_1，y_2^2=2px_2 代入 y_1\cdot y_2=-2pa

\sqrt{2px_1}\sqrt{2px_2}=2pa 得 x_1\cdot x_2=a^2

当 a=\frac{p}{2} 时有以下二级结论，这也是抛物线里面设点的根本，考试的时候联立以下，直接写就行，不需要再推一遍了。一条过抛物线的直线交两点，设一个点，可知另外一个点。

x_1\cdot x_2=\frac{p^2}{4} 和 y_1\cdot y_2=-p^2

设点也不是乱设，要能简化我们计算的做法，一般设 y=\sqrt{2p}t ， x=t^{2} ，好处是没有分式。

开做：

设 A\left(t^2,2t\right) ，根据二级结论：有 t^2x_B=1 和 2ty_B=-4 ，得出 B\left(\frac{1}{t^2},\frac{-2}{t}\right)

重心公式知三求一： y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=0

2t-\frac{2}{t}+y_C=0\Rightarrow y_C=\frac{2}{t}-2t

C 点在抛物线上满足抛物线方程： x_C=\frac{y_C^2}{4}=\frac{\frac{4}{t^2}+4t^2-8}{4}=\frac{1}{t^2}+t^2-2

重心公式知三求一： x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\Rightarrow x_G=\frac{t^2+\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t^2}+t^2-2}{3}=\frac{2}{3}\left(t^2+\frac{1}{t^2}-1\right)

求 Q 点： AC:y-2t=\frac{2t+2t-\frac{2}{t}}{t^2-t^2-\frac{1}{t^2}+2}\left(x-t^2\right)

分析斜率： \frac{4t-\frac{2}{t}}{2-\frac{1}{t^2}}=\frac{4t^3-2t}{2t^2-1}=\frac{2t\left(2t^2-1\right)}{2t^2-1}=2t

化简 y-2t=2t\left(x-t^2\right)

令 y=0 有 y-2t=2t\left(x_Q-t^2\right)

-2t=2t\left(x-t^2\right) ，明显 t\neq0 ， -1=x_Q-t^2 \Rightarrow x_Q=t^2-1

\frac{s_1}{s_2}=\frac{\frac{1}{2}\left|FG\right|\left|y_A\right|}{\frac{1}{2}\left|QG\right|\left|y_C\right|}=\frac{\left(x_G-x_F\right)y_A}{\left(x_Q-x_G\right)\left(-y_C\right)}=\frac{\left[\frac{2}{3}\left(t^2+\frac{1}{t^2}-1\right)-1\right]2t}{\left[t^2-1-\frac{2}{3}\left(t^2+\frac{1}{t^2}-1\right)\right]\left(2t-\frac{2}{t}\right)}

=\frac{\left(\frac{2}{3}t^2+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{t^2}-\frac{5}{5}\right)\cdot2t}{\left(\frac{1}{3}t^2-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{t^2}-\frac{1}{3}\right)\left(2t-\frac{2}{t}\right)}=\frac{\left(2t^2+\frac{2}{t^2}-5\right)t}{\left(t^2-\frac{2}{t^2}-1\right)\left(t-\frac{1}{t}\right)}=\frac{\left(2t^4-5t^2+2\right)t^2}{\left(t^4-t^2-2\right)\left(t^2-1\right)}

=\frac{\left(2t^2-1\right)\left(t^2-2\right)t^2}{\left(t^2-2\right)\left(t^2+1\right)\left(t^2-1\right)}=\frac{\left(2t^2-1\right)t^2}{\left(t^2+1\right)\left(t^2-1\right)}=\frac{2t^4-t^2}{t^4-1}=\frac{2t^4-2-t^2+2}{t^4-1}

=2-\frac{t^2-2}{t^4-1}

令 m=t^2-2 ，有 \left(m+2\right)^2=t^4\Rightarrow t^4=m^2+4m+4

\frac{s_1}{s_2}=2-\frac{m}{m^2+4m+3}=2-\frac{1}{m+\frac{3}{m}+4}\le2-\frac{1}{2\sqrt3+4}=1+\frac{\sqrt3}{2}

思考：

以上有 \frac{\left(2t^4-5t^2+2\right)t^2}{\left(t^4-t^2-2\right)\left(t^2-1\right)} ，很多人麻木了，并不知道左边是伪2次的，可以十字相乘得到因式，直接就进行了乘开，发现是上下都是6次的多项式，不会求最值了。其实我们知道，圆锥曲线高次是一定可以化成低次的，因为不能化去的话对于高中生来说是不会做的，高考题一定是能用简单做法做出来的，不需要各种技巧。

乘开以后有 \frac{2t^6-5t^4+2t^2}{t^6-{2t}^4-t^2+2} 如何提取公因式 \left(t^2-2\right) 。试根法猜不出有 \sqrt2 的解的，而且要验证上下两边都成立。这需要用到大学中的辗转相除法，这个方法一般学校非数学专业是不学的。大部分学校工科学线性代数，不学多项式这一章，只有数学系的学生才会学习高等代数，高等代数中第一章就是多项式，讲述综合除法，使用综合除法进行辗转相除，我们就会将上下两个多项式的最大公因式求出。

\left(t^2-2\right) 就是首项系数为一的最大公约数只要将上述操作中的 -t^2+2 的负号提出即可，两边再进行整式除法。

分子是 \left(2t^4-t^2\right)\left(t^2-2\right) ，分母是 \left(t^4-1\right)\left(t^2-2\right)

同样是关于 AC 直线的斜率也是多项式相除 \frac{2t+2t-\frac{2}{t}}{t^2-t^2-\frac{1}{t^2}+2} ，我们最终将其变成 2t 也是因为我们要相信，如果上下两式不能约去，我们会到一个上面三次，下面二次的形式，太过复杂，高考不会考这样的，所以一定能化简。该提公因数一定要提。