十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘的积为二次项，右边相乘的积为常数项，交叉相乘再相加等于一次项。原理就是运用二项式乘法的逆运算来进行因式分解。
例1：a²+a-42
首先看第一项，是a²，代表是两个a相乘得到的，则推断出(a+?)×(a-?)，
然后再看第二项，+a 这种式子是经过
合并同类项
以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ，-42是(-6)×7 或者6×(-7)也可以分解成 (-21)×2 或者21×(-2)或者±3×±14。
首先，21和2无论正负，通过任意加减后都不可能是1，只可能是7或者6，所以排除前者。
然后，再确定是(-7)×6还是7×(-6)。
(-7)+6=-1，7-6=1，因为一次项系数为1，所以确定是7×(-6)。
所以a²+a-42就被分解成为(a+7)×(a-6)，这就是通俗的十字分解法
分解因式
。
具体应用
双十字相乘法
是一种
因式分解
方法。对于型如 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F 的
多项式
的因式分解，常采用的方法是
待定系数法
。这种方法运算过程较繁。对于这问题，若采用“双十字分解法”（
主元法
），就能很容易将此类型的多项式分解因式。
例2：3x²+5xy-2y²+x+9y-4=(x+2y-1)(3x-y+4)
因为3=1×3，-2=2×(-1)，-4=(-1)×4，
而1×(-1)+3×2=5，2×4+(-1)(-1)=9，1×4+3×(-1)=1
要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，
例3：ab+b²+a-b-2
=0×1×a²+ab+b²+a-b-2
=(0×a+b+1)(a+b-2)
=(b+1)(a+b-2)
提示：设x²=y，用
拆项法
把cx²拆成mx²与ny之和。
例4：2x^4+13x^3+20x²+11x+2
=2y²+13xy+15x²+5y+11x+2
=(2y+3x+1)(y+5x+2)
=(2x²+3x+1)(x²+5x+2)
=(x+1)(2x+1)(x²+5x+2)
分解二次
三项式
时，常用十字相乘法。对于某些二元二次六项式(ax²+bxy+cy²+dx+ey+f)，也可以用十字相乘法分解因式。
例如，分解因式2x²-7xy-22y²-5x+35y-3．将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为
2x²-(5+7y)x-(22y²-35y+3)，
可以看作是关于x的二次三项式．
对于
常数项
而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字分解法，分解为
即
-22y²+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．
再利用十字分解法对关于x的二次三项式分解
所以
原式=[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)]
=(x+2y-3)(2x-11y+1)．
(x+2y)(2x-11y)=2x^2-7xy-22y^2；
(x-3)(2x+1)=2x^2-5x-3；
(2y-3)(-11y+1)=-22y²+35y-3．
这就是所谓的双十字分解法．也是俗称的
“
主元法
”
用双十字相乘法对多项式ax²+bxy+cy²+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：
⑴用十字相乘法分解ax²+bxy+cy²，得到一个十字相乘图（有两列）；
⑵把常数项f分解成两个
因式
填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一列、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
把形如anx^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a1x+a0（n为
非负整数
）的代数式称为关于x的
一元多项式
，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如
f(x)=x²-3x+2，g(x)=x^5+x²+6，…，
当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)
f(1)=12-3×1+2=0；
f(-2)=(-2)²-3×(-2)+2=12．
若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．
定理1(
因式定理
) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)至少有一个因式x-a．
根据因式定理，找出一元多项式f(x)的
一次因式
的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即
整系数多项式
时，经常用下面的定理来判定它是否有
有理根
。
例1、因式分解。
x²-x-56
分析：因为7x+(-8x)=-x
解：原式=(x+7)(x-8)
例2、因式分解。
x²-10x+16
分析：因为-2x+(-8x)=-10x
解：原式=(x-2)(x-8)
例3、因式分解。
6y²+19y+15
分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。
因为
9y + 10y=19y
解：原式=(2y+3)(3y+5)
例4、 因式分解。
14x²+3x-27
分析：因为
21x+(-18x)=3x
解：原式=(2x+3)(7x-9)
例5、 因式分解。
10(x+2)²-29(x+2)+10
分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。
因为
-25(x+2)+[-4(x+2)]= -29(x+2)
解：原式=[2(x+2)-5][5(x+2)-2]
=(2x-1)(5x+8)
十字相乘法
例1
把2x²-7x+3分解因式.
分析：先分解二次项系数，分别写在十字
交叉线
的左上角和左
下角
，再分解常数项，分
别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后
交叉相乘
，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数（只取
正因数
，因为取
负因数
的结果与正因数结果相同。）：
2=1×2=2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
1 3
╳
2 1
1×1+2×3=7 ≠-7
1 1
╳
2 3
1 -1
╳
2 -3
1×(-3)+2×(-1)=-5 ≠-7
1 -3
╳
2 -1
1×(-1)+2×(-3)=-7
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为
交叉相乘
后，两项代数和恰等于一次项系数-7。
十字相乘法
例2
解 2x²-7x+3=(x-3)(2x-1)
通常地，对于二次三项式ax²+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2 + a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax²+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)
像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字分解法.
十字相乘法
例4
把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。
问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答：第二个因式中的前两项如果提出
公因式
2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原
多项式
变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字分解法分解因式了。
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y)²-3(x-y)-2
1 -2
╳
2 1
1×1+2×(-2)=-3
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
指出：将元x、y换成(x+y)，以(x+y)为元，这就是“
换元法
”。
