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- 中文名
- 一元二次方程
- 外文名
- quadratic equation with one unknown
- 所属学科
- 代数
- 类 型
- 数学、代数名词
- 定 义
- 通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的 整式方程
- 解 法
- 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
- 表达式
- ax 2 +bx+c=0
简介
播报
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发展简史
播报
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通过分析
古巴比伦
泥板
上的代数问题，可以发现，在公元前2250年古巴比伦人就已经掌握了与求解一元二次方程相关的
代数学
知识，并将之应用于解决有关矩形面积和边的问题。
[2]
相关的算法可以追溯到
乌尔第三王朝
。
[3]
公元前300年前后，活跃于
古希腊
文化中心亚历山大的数学家
欧几里得
（Euclid）所著的《
几何原本
》（Euclid’s Elements）中卷II命题5、命题6以及卷VI命题12、命题13的内容相当于二次方程的几何解。
继欧几里得之后，亚历山大数学发展第二次高潮“白银时代”的代表人物
丢番图
（Diophantus）发表了《算术》（Arithmetica）。该书出现了若干二次方程或可归结为二次方程的问题。这足以说明丢番图熟练掌握了二次方程的求根公式，但仍限于正
有理根
。不过他始终只取一个根，如果有两个正根，他就取较大的一个。
公元628年，印度数学家
婆罗摩笈多
（Brahmagupta，公元598-665年以后卒）完成了《
婆罗摩修正体系
》（Brahma-sphuta-siddhanta），其中有两章专论数学。在该书中，婆罗摩笈多明确给出了形如
的求根公式：
[8]
但婆罗摩笈多当时是用语言来表述的，没有使用符号。
公元5-11世纪，是
欧洲历史
上的黑暗时期。天主教会成为欧洲社会的绝对势力。封建宗教统治，使一般人笃信天国，追求来世，从而淡漠世俗生活，对自然不感兴趣。教会宣扬天启真理，并拥有解释这种真理的绝对权威，导致了理性的压抑，欧洲文明在整个中世纪处于凝滞状态。由于罗马人偏重于实用而没有发展
抽象数学
，终使
黑暗时代
的欧洲在数学领域毫无成就。
[6]
在此期间，阿拉伯人在保存和传播希腊、印度甚至中国的文化，最终为近代欧洲的
文艺复兴
准备学术前提方面作出了巨大贡献。
在推翻
倭马亚王朝
之后，
阿拔斯王朝
将首都迁往
巴格达
，其第二任哈里发
曼苏尔
（al-Mansur，公元754-775年在位）仿效
波斯
旧制，建立起了完整的
行政体制
。在最初的100年时间里，特别是第五任哈里发
哈伦·拉希德
（Harunal-Rashid，公元786-809年在位）和第七任哈里发
马蒙
（al-Ma'mūn，公元813-833年在位）执政时期，是
阿拉伯帝国
极盛时期，同时阿拉伯帝国的科学
文化事业
在广泛吸收古希腊、印度等文明成果的基础上进入了繁荣昌盛阶段。
阿拉伯数学
的突出成就首先表现在代数学方面。中世纪阿拉伯数学家对世界影响最大的可说是阿尔·花剌子模（al-Khwārizmī，约公元783-850年）。约公元820年，花剌子模的著作《还原与对消之书》（al-Kitāb al-jabr wal-muqābala，简称《代数学》）问世。在该书中，他将“还原（al-jabr）”定义为这样一种运算，即将方程一侧的一个减去的
量移
到方程的另一侧变为加上的量；单词“wa”是“和”的意思；“al-muqābala”的意思是将方程两侧相等的同类正项消去，此处译为“对消”。后来的阿拉伯数学家通常用“还原（al-jabr）”一词来代替整个还原与对消算法，并逐渐用来表示一个数学分支，最终其演变为当代的“代数（algebra）”一词。
[11]
由于花剌子模只承认方程的正根，所以在《代数学》中他将一元二次方程分为六种类型：
①
②
③
④
⑤
⑥
其中
，这样便穷尽了有正根的一元二次方程的所有可能，同时花剌子模给出了与当代相同的公式解。《代数学》全书没有符号，但有明确的方程思想，其中“还原与对消”方法作为代数学的基本特征被长期保留下来，并基本确立了后世阿拉伯代数学中方程化简（
多项式
理论）和
方程求解
这两条主要发展脉络。
[7]
正因如此，著名数学史家鲍耶（C.B.Boyer，1906-1976年）将花剌子模称为“代数学之父”。
[1]
花剌子模的工作很快被阿布·卡米尔（Abū Kāmil，约公元850-930年）等阿拉伯数学家继承并发展。虽然花剌子模的《代数学》在12世纪初已被译成
拉丁文
并开始在
伊比利亚半岛
传播，但对花剌子模代数思想在欧洲传播起到关键作用的是意大利数学家
斐波那契
（Fibonacci，约1170-1250）。斐波那契在其著作《
计算之书
》（Liber Abaci，1202）中系统介绍了印度－
阿拉伯数码
，二次和
三次方程
以及
不定方程
理论。斐波那契参阅了卡米尔的代数学著作，并指出与一元二次方程有关的理论源自花剌子模。《计算之书》对改变欧洲数学的面貌产生了很大影响，并最终引导了16世意大利代数方程求解方向的突破。
随着欧洲人在代数学领域的深入研究，包括一元二次方程在内的数学知识进一步向前发展。法国数学家韦达（F.Vieta，1540-1603）给出了
代数方程
的近似解法与代数方程的多项式分解因式解法，并将
数学符号
系统化。1637年，
笛卡儿
（René
Descartes
，1596-1650）完成了对韦达代数符号的改进并首次应用
待定系数法
将
四次方程
分解成两个二次方程求解。
[11]
解法
播报
编辑
直接开平方法
一般地，对于方程（I）
（I）（x
2
=p是最简单的一元二次方程）
⑵当
时，方程（I）有两个相等的实数根
配方法
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
（II）的形式，那么就有：
⑶当
时，因为对任意的实数
，都有
，所以方程（II）无实数根，但是在复数域内有解
对于任意的一元二次方程
，配方的方法是在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
[1]
公式法
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
（III）
根据用配方法解一元二次方程的经验来解决这个问题：
移项，得
配方，得
即得 ①式
因为
，所以
，式子
的值有以下三种情况：
⑴
这时
由①得
得
方程有两个不等的实数根
⑵
这时
由①得
方程有两个相等的实数根
⑶
这时
由①可知
而
取任何实数都不能使
，因此方程无实数根。
由上可知，
当
时，方程
有两个相等的实数根；
当
时，方程
无实数根。
当
时，方程
的实数根可写为
因式分解法
编程解法
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main(void)
double a ,b , c;
double delta;
double x1, x2;
char ch;
printf("请输入一元二次方程的三个系数：\n");
printf("请输入系数 a = \t");
scanf("%lf",&a);
printf("请输入系数 b = \t");
scanf("%lf",&b);
printf("请输入系数 c = \t");
scanf("%lf",&c);
delta = b*b-4*a*c;
if(delta>0)
x1= ( -b+sqrt(delta) )/(2*a);;
x2= ( -b-sqrt(delta) )/(2*a);;
printf("有2个实数解：x1 = %lf x2 = %lf\n",x1,x2);
else if(delta==0)
x1=( -b+sqrt(delta) )/(2*a);;
printf("有2个相等实数解：x1=x2 = %lf\n",x1);
printf("无实数解\n");
printf("是否继续吗：Y/N\n");
scanf(" %c",&ch);
}while(ch=='y'||ch=='Y');
return 0;
}
用python语言求解一元二次方程的代码如下
[10]
：
# 导入math模块
import math
# 定义函数，求解一元二次方程
def quadratic_equation(a, b, c):
# 计算判别式
discriminant = b ** 2 - 4 * a * c
# 如果判别式大于0，则有两个实数根
if discriminant > 0:
root1 = (-b + math.sqrt(discriminant)) / (2 * a)
root2 = (-b - math.sqrt(discriminant)) / (2 * a)
return root1, root2
# 如果判别式等于0，则有一个实数根
elif discriminant == 0:
root1 = -b / (2 * a)
return root1
# 如果判别式小于0，则无实数根
else:
return "无实数根"
# 输入参数
a = 1