高等代数(丘维声著）笔记目录
1.前言
参考
- 《高等代数》丘维声著
- 《高等代数学习指导书》丘维声著
- 北大丘维声教授高等代数课程
之前学过部分线性代数，所以选择性更新笔记。
B站上有丘维声老师的高等代数课程，链接已然放在参考里了。
文章最下方是知识点整理。
2.目录
笔记目录是按照丘老师上课次序整理的。
第1章 线性方程组的解法
第2章 行列式
第3章 向量空间
- 3.1n维向量空间
- 3.2线性子空间
- 3.3线性相关和线性无关向量组
- 3.4极大线性无关组
- 3.5基与维数、坐标
- 3.6矩阵的秩
- 3.7线性方程组有解的判别定理
- 3.8齐次方程组解集的结构
- 3.9非齐次线性方程组的解集的结构
- 3.10子空间的运算
- 3.11线性空间的同构
- 3.12映射乘法，可逆映射
- 3.13集合的划分
- 3.14商空间
第4章 矩阵的运算
第5章 多项式环
暂时不学，以后会补充。
第6章 线性映射
- 6.1 线性映射的定义和性质
- 6.2 线性映射的运算
- 6.3 线性映射的核与象
- 6.4 线性映射和线性变换的矩阵表示
- 6.5 线性变换在不同基下的矩阵之间的关系
- 6.6 线性变换的特征值和特征向量
- 6.7 线性变换可对角化的条件
- 6.8 线性变换的不变子空间
- 6.9 线性变换的最小多项式
- 6.10 幂等变换的Jordan标准形
- 6.11 线性变换的Jordan标准形
- 6.12 线性函数与对偶空间
第7章 双线性函数
第8章 具有度量的线性空间
5酉空间，6酉变换，7Hermite变换等，暂时不学。
第9章 n元多项式环和二次型
3. 知识点重点整理
知识点是按照高等代数课本顺序整理的。
第1章 线性方程组的解法
第一章 线性方程组的解法 主要介绍线性方程组的解法——矩阵消元法 及 线性方程组解的情况——无解、有唯一解、有无穷解。需要知道怎样用矩阵消元法解线性方程，以及三种解的情况在矩阵消元法中，阶梯形矩阵是如何体现的。
P18的流程图
第2章 行列式
第二章 行列式 主要介绍行列式的定义、行列式的性质、行列式按照行(列展开)、行列式按照k行(k列)展开(即拉普拉斯定理)、范德蒙行列式和克莱姆法则。其中克莱姆法则涉及了n个n元线性方程组有唯一解的充要条件，唯一解时解的形式，n个n元齐次线性方程组有唯一零解的充要条件等。
第3章 向量空间
线性子空间
考虑 K^n ，假定 W \subseteq K^n 且 W 非空，若 \forall a,b \in W,k \in K ，有 a+b \in W,ka \in W ，则称 W 是 K^n 的线性子空间。
线性相关和线性无关向量组
1、线性相关(无关)和解齐次线性方程联系起来。
2、线性表示和解非齐次线性方程联系起来。 \beta 由 \alpha_1,\dots,\alpha_n 线性表出 \iff \beta \in <\alpha_1,\dots,\alpha_n> \iff 由 \alpha_1,\dots,\alpha_n 充当系数， \beta 充当常数项的线性方程组有解。
缩短组线性无关，则伸长组线性无关。
整体组线性无关，则部分组线性无关。
极大线性无关组
1、 定义 ：向量组的极大线性无关组的定义、向量组秩的定义等。
2、 定理 ：
(1)、若 \beta_1,\dots,\beta_r 可由向量组 \alpha_1,\dots,\alpha_s 线性表出，且 r>s ,那么 \beta_1,\dots,\beta_r 必然线性相关。
(2)、若 \beta_1,\dots,\beta_r 可由向量组 \alpha_1,\dots,\alpha_s 线性表出，且 \beta_1,\dots,\beta_r 线性无关，则 r \le s 。
(3)、若 \beta_1,\dots,\beta_r 可由向量组 \alpha_1,\dots,\alpha_s 线性表出，则 \text{rank}(\beta_1,\dots,\beta_r) \le \text{rank}(\alpha_1,\dots,\alpha_s) 。
(4)、一个向量组有r个向量，
- 若向量组线性无关，则秩为r；
- 若秩小于r，则向量组线性相关。
3、 技巧 ：
(1)、一个重要的Trick，取向量组的极大线性无关组。
(2)、学会用缩短组来判断线性相关性。
e.g
矩阵的秩
1、 等式
矩阵的行秩 = 矩阵的列秩 = 矩阵的秩 = 矩阵行空间的维数 = 矩阵列空间的维数 = 阶梯形矩阵的非0行数 = 阶梯形矩阵的首非0元数 = 最高阶非零子式的次数。
2、 初等行变换与线性相关性、秩和向量空间的关系
(1)、初等行变换不改变行向量和列向量对应的原来行向量和列向量的线性相关性。
(2)、初等行变换不改变行秩和列秩，也就是说初等行变换不改变秩。
(3)、初等行变换不改变行向量生成的空间，但是可能改变列向量生成的空间。举例：
初等列变换与线性相关性、秩和向量空间的关系是类似的。
3、 如何找行向量和列向量的极大线性无关组 ？
方法1 ：矩阵化为阶梯形矩阵时，首非0元所在行对应的原矩阵的行向量是行向量极大线性无关组；首非0元所在列对应的原矩阵的列向量是列向量极大线性无关组。
方法2 ：最高阶非0子式所在行向量构成行向量极大线性无关组，所在列向量构成列向量极大线性无关组。
4、 若干结论
(1)、
等号成立当且仅当两个向量组的任意向量均不能由另外一个向量组线性表出。
(2)、
从化为阶梯形矩阵去理解。
(3)、
等号成立时当且仅当 C 的列向量可由 A 的列向量线性表出或 C 的行向量可由 B 的行向量线性表出。
(4)、
线性方程组求解
(1)、线性方程组有解的充要条件为系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。在有解的情况下，若秩等于变元个数，则有唯一解；若秩小于变元个数，则有无穷解。
(2)、线性齐次方程组有非零解的充要条件为系数矩阵的秩小于变元个数。
齐次线性方程组的解集结构
1、考虑矩阵 A_{m \times n} ，它的列向量所处的空间是 K^m ，它的解向量所处空间是 K^n 。假定解空间的维数是 \dim V ，则 n=\text{rank}(A)+\dim V 。
2、当增加一个齐次线性方程时，新的解空间必然是原解空间的子集。
3、求解齐次线性方程组的方法有凑型法(考研数一中的tuv法)和本书提到的常规方法。
非齐次线性方程组解集的结构
非齐次线性方程组解集的结构为：齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解。
非齐次线性方程组的特解减去特解，得到齐次线性方程组解集的一个解。
第4章 矩阵的计算
矩阵的运算
矩阵的三种乘法。数量矩阵是可交换的。
特殊的矩阵
数量矩阵，基本矩阵，初等矩阵，对称矩阵，斜对称矩阵，上(下)三角矩阵的相关结论。
矩阵的秩和行列式
1、 \text{rank}(AB) \le \min(\text{rank}(A),\text{rank}(B)) 。
2、Binet-Cauchy公式。特别地 A,B 均为方阵时，有 |AB|=|A||B| 。
3、Binet-Cauchy公式应用。
可逆矩阵
1、可逆矩阵和伴随矩阵的定义。简单的二阶可逆阵的表现形式。
2、可逆矩阵的等价条件，包括但不限于
(1)、行列式不为0。
(2)、矩阵满秩。
(3)、列(行)向量线性无关。
(4)、矩阵对应的齐次线性方程组仅有零解。
3、初等变换法求逆矩阵。
4、求解可逆矩阵的解。
(1)、若 A 可逆，求解 AX=B ，显然 X=A^{-1}B 。实际方法1：先求 A^{-1} ，然后求 A^{-1}B 。实际方法2：初等行变换 [A,B] \to [I,?] ，其中 ?=A^{-1}B 。
(2)、若 A 可逆，求解 XA=B 是类似的，显然 X=BA^{-1} 。实际方法1：先求 A^{-1} ，然后求 BA^{-1} 。实际方法2：初等列变换 [A,B] \to [I,?] ，其中 ?=BA^{-1} 。
(3)、若 A,B 可逆，求解 AXB=C 是类似的，显然 X=A^{-1}CB^{-1} 。实际方法1：先求 A^{-1} ，然后求 B^{-1} ，最后求 A^{-1}CB^{-1} 。实际方法2：初等行变换 [A,C] \to [I,?] ，其中 ?=A^{-1}C ，初等列变换 [B,A^{-1}C] \to [I,?] ，其中 ?=A^{-1}CB^{-1} 。
矩阵的分块
1、分块矩阵的定义和乘法。
2、分块矩阵的初等行变换及初等矩阵(均可逆)。
3、分块矩阵涉及到的公式：
(1)、
(2)、
(3)、
建议矩阵分块这一节一定要看习题，有很多重要的结论。
正交矩阵.欧几里得空间
正交矩阵的定义、性质及等价条件
施密特正交化
