黎曼函数（Riemann function）
写在前面 ：
本文默认黎曼函数是定义在 (-\infty,+\infty) 上的 。
本文内容
一、黎曼函数的定义
二、黎曼函数是否连续？在哪些点连续？
三、黎曼函数的可积性
一、黎曼函数的定义
R(x)=\begin{equation} \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{1}{p} & & {x为有理数\frac{q}{p},\ p\in N^+,q\in Z且p、q互质}\\ 1 & & {x=0}\\ 0 & & {x为无理数}\\ \end{array} \right. \end{equation} ，
为什么定义 R(0)=1 ？ 这样能使得 R(x) 成为周期为 1 的周期函数（无理数+1后还是无理数，有理数+1后分母不变），当 x 为整数时，黎曼函数的值均为 1。因此以下只讨论黎曼函数在区间 [0,1] 上的性质。
二、黎曼函数的连续性讨论
黎曼函数性质描述 ：
黎曼函数对 \forall x_0\in(-\infty,+\infty) 均有 \lim_{x\rightarrow x_0}R(x)=0 （也就是黎曼函数在数轴上一切无理点连续，有理点不连续）
证明 ：
只考虑 [0,1] 上的情况；
需要用到函数极限的 \epsilon-\delta 语言；
对 \forall\epsilon\in(0,1) ，令 k=[\frac{1}{\epsilon}] ，则 k 是正整数；
在 [0,1] 上，设分母为 p(p\ge2) 的有理数的个数为 n_p ，则 n_p 是个有限的数字（不可能是无穷大，因为至多只能有 \frac{1}{p},\frac{2}{p},\frac{3}{p},...,\frac{p}{p} ，一共 p 个）；当 p=1 时，有两个分母为 1 的有理数： \frac{0}{1},\frac{1}{1} ，即 n_1=2 ；
因此，我们得出： [0,1] 上分母不超过 k 的有理数的个数 N_k=n_1+n_2+...+n_k 是个有限的数字（不为无穷大），设这些有理数为 r_1,r_2,...,r_{N_k}
令 \delta=\min_{1\le i\le N_k且r_i\ne x_o}\{|r_i-x_0|\} （也就是这 N_k 个点中离 x_0 最近的那个点与 x_0 间的距离；如果 x_0 正好与这 N_k 个点中的某个点重合，则在剩下 N_k-1 个点中重新计算离 x_0 的最小距离）；
现在我们观察 0<|x-x_0|<\delta 中的所有数，这些数：
（1）、要么是有理数但分母比 k 大；（2）、要么是无理数；
对于（1）中的 x ，我们有 R(x)\le\frac{1}{k}=\frac{1}{[\frac{1}{\epsilon}]}\le\frac{2}{\frac{1}{\epsilon}}=2\epsilon ；
对于（2）中的 x ，很显然 R(x)=0<2\epsilon ；
综上，根据极限的 \epsilon-\delta 语言我们得出 \lim_{x\rightarrow x_0}R(x)=0 。
我们还可以得出另一个下面会用到的性质（简称为”性质*“） ：
在 [0,1] 上，满足 R(x)\ge\eta(\eta\in(0,1)) 的 x 只有有限个（找到满足这个不等式 \frac{1}{k+1}\le\eta\le\frac{1}{k} 的 k ，那么满足 R(x)\ge\eta(\eta\in(0,1)) 的 x 的个数就是 N_k 个）。
三、黎曼函数的可积性
先说结论：黎曼函数可积！
此处仅证明黎曼函数 在 [0,1] 上可积 ；
以下证明需要用到 这篇文章 中可积的充要条件（3）（直接复制过来了）：
（3）、对 \forall\epsilon>0,\exists P:a=x_0<x_1<x_2<...<x_n=b 使得 \sum_{i=1}^{n}\omega_i\Delta x_i<\epsilon ；
我们如何理解这个可积的等价条件？说白了，当函数值变化较大时（ \omega_i 较大时），我们可以把区间长度取得很小（ \Delta x_i 取得很小），让这个和式（ \sum_{i=1}^{n}\omega_i\Delta x_i ）仍然是无穷小量；
比如黎曼函数，黎曼函数 在有理点处的函数值会发生较大改变 ，而在无理点连续，因此要想让这个和式（ \sum_{i=1}^{n}\omega_i\Delta x_i ）仍然是无穷小量，我们需要取满足一定条件的划分 P；
由上文（二、）中的 性质* ，我们得出：对 \forall\epsilon\in(0,2) ，满足 R(x)\ge\frac{\epsilon}{2} 的 x 只有有限个，设这些点为 x=p_0,p_1,...,p_k 且 p_0<p_1<...<p_k ，一共 k 个，显然 p_0 即为 x=0 ， p_k 即为 x=1 ；
现在我们构造划分 P:0=x_0<x_1<x_2<...<x_{2k-1}=1 ，共 2k 个分点，并且 P 满足以下条件：
x_0=p_0=0,p_0<x_1<x_2 ；
x_2<p_1<x_3;x_3<x_4 ；
x_4<p_2<x_5;x_5<x_6 ；
......
x_{2k-2}<p_{k-1}<x_{2k-1};x_{2k-1}=p_k=1 ；
（也就是用 x_{2i} 和 x_{2i+1} 围住了有理点 p_i ，由于函数值在 p_i 附近的变化幅度较大，所以我们要让区间 [x_{2i},x_{2i+1}] 的长度足够小（其中 i=0,1,...,k-1 ），小到什么程度？）
并且我们还要求区间长度 x_{2i+1}-x_{2i}<\frac{\epsilon}{2k} ，也就是 \Delta x_{2i+1}<\frac{\epsilon}{2k} ；
现在我们观察和式 \sum_{i=1}^{2k-1}\omega_i\Delta x_i ，在区间 [x_{2j},x_{2j+1}] （其中 j=0,1,...,k-1 ）中，由于围住了 x=p_0,p_1,...,p_k 这些有理点，所以函数值变化幅度大（但是再大也大不过 1），因此我们让区间长度很小；在区间 [x_{2j+1},x_{2j+2}] 中（其中 j=0,1,...k-2 ），我们没要求区间长度短（但是再长也比 1 短），而函数值在这些区间上的变化幅度上很小；
把上面那段话用数学语言来说：
\sum_{i=1}^{2k-1}\omega_i\Delta x_i
=\sum_{j=0}^{k-1}\omega_{2j+1}\Delta x_{2j+1}+\sum_{j=0}^{2k-2}\omega_{2j+2}\Delta x_{2j+2}
<\sum_{j=0}^{k-1}1*\Delta x_{2j+1}+\frac{\epsilon}{2}*\sum_{j=0}^{2k-2}\Delta x_{2j+2}
<k*\frac{\epsilon}{2k}+\frac{\epsilon}{2}*1=\epsilon
因此这个和式是无穷小量，黎曼函数在 [0,1] 上的可积性得证。
