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狄利克雷函数（Dirichlet Function）有什么用处？
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数学里经常喜欢倒着推定理，有一个特别好的结论，看看满足哪些条件就能推出这个结论。然后再看看放宽某些条件能不能推的出来。这时候举反例就是一种很好的证明不成立的方式。
到了教学的时候，很多教材上来就会给你先划定好研究范围，而研究范围的“边界”，就是靠已推导出的定理和已构造的反例来划定的。至于那些模糊不清的地方，其实就是可以进一步研究的问题。
说了一堆废话，狄利克雷函数也是构造反例的一大利器，具体的相信其他大佬会详述的
维基上是这么说的：
狄利克雷函数性质
- 定义在整个数轴上。
- 无法画出图像。
- 以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）。
- 处处无极限、不连续、不可导。
- 在任何有界区间上黎曼不可积。另一方面也作为反例说明了对于黎曼积分，单调收敛定理不成立。
- 是偶函数。
- 它在[0,1] 上勒贝格可积。
它就是一朵奇葩，打破你对函数基本性质的一切美好想象。它是一柄照妖镜，在你猜测一个关于函数的命题前，可以先用它照一下。