浅谈积分方程（1）——认识积分方程

封面图片为已废弃的李港铁路线，现已改造为李七庄铁路公园。拍摄时间：2022年5月15日。拍摄者：free光阴似箭。拍摄地点：天津市西青区李七庄铁路公园。

0.引子

这个积分方程的内容我本打算两年前就写个回答的。但是鉴于各方面条件都不成熟，所以导致这个课题内容一鸽再鸽。现在我终于有空了，也腾出手来了，那么就弥补上这个缺憾。本文虽说是浅谈积分方程，但是本文的大部分内容来自B站，所以本文章的写作目的也可以理解为做个整理笔记。我在知乎检索了积分方程相关内容，确实是少之又少。所以整理并分享给大家以供拓展。闲话少说，我们下面正式步入正题。

积分方程的起源是什么？这个不用查资料就知道大概率来自物理问题，物理学家遇到复杂的数学问题不会解了，然后数学家登场，一代接一代的努力，创造以及发展出了现在我们正在学习的理论。

我们在学习高等数学时曾接触过线性常微分方程，如 \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+P(x)y=Q(x)\tag{1-0.1} 利用微分方程也解过类似含变限积分的方程，如 \int_0^x\mathrm e^{x-t}f(t)\mathrm dt=\sin x\tag{1-0.2} 这（1-0.2）式就是一个积分方程，我们从这里开始带领大家浅浅的了解一下线性积分方程。知道有这么回事儿，我们的目的不用微分方程的方法将这（1-0.2）式解出来。

1，积分方程的定义

在积分号下含有未知函数的方程称为 积分方程。 我们先认识四个常见的积分方程。

\begin{align} \int_a^bK(s,t)\color{blue}{x(t)}\mathrm d t&=f(s)\tag{1-1.1}\\ \color{blue}{x(s)}-\lambda\int_a^bK(s,t)\color{blue}{x(t)}\mathrm dt&=f(s)\tag{1-1.2} \end{align} 这里的 a,b 有限或者无限， \lambda 为复参数， K(x,y),x(s),f(s) 为实变量的复函数， x(s) 为未知函数。（1-1.1），（1-1.2）两式分别称为 第一类Fredholm方程 和 第二类Fredholm方程， 这类积分方程最早由瑞典几何学家Fredholm首先提出并进行过系统研究。这两个方程的积分限都是固定的，如果我们将这积分限改为变动的，那么容易写出改动后的方程，即

\begin{align} \int_a^sK(s,t)\color{blue}{x(t)}\mathrm d t&=f(s),a<x<b\tag{1-1.3}\\ \color{blue}{x(s)}-\lambda\int_a^sK(s,t)\color{blue}{x(t)}\mathrm dt&=f(s),a<x<b\tag{1-1.4} \end{align}

（1-1.3）和（1-1.4）两个方程分别称为 第一类Volterra方程 和 第二类Volterra方程 。先前提到的（1-0.2）式就属于第一类Volterra积分方程。这四个方程都属于线性方程，至于为什么是线性的，我们要从线性算子的概念谈起。

2，线性算子

我们知道函数就是从一个数映射到另一个数，而算子一种更广义的一种映射，即把一个函数映射到另一个函数。比如在解二阶线性非齐次微分方程时会用到“微分算子”。这个微分算子就是一种映射，记作 D=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} ，再如在求 f(x) 的不定积分时找不到初等的原函数或者原函数过于复杂时，我们将这原函数简单的统一写成 \int_0^xf(t)\mathrm dt 的形式。这种用变上限积分来表达原函数的式子也是一种算子，叫积分算子，用 \frac 1D 或者 D^{-1} 表示，类似的我们还可以定义内积算子，零算子，线性算子等。

对于线性算子，满足这样的性质 F(\alpha x_1(s)+\beta x_2(s))=\alpha F(x_1(s))+\beta F(x_2(s))\tag{1-2.1} 现在我们将（1-1.1）式中的 x(t) 替换成（1-2.1）式的线性组合，容易证明这方程是线性的。推而广之，可以证明刚才提到的四个积分方程也都是线性的。

3.积分方程与微分方程间的联系

积分方程与微分方程间有着紧密的联系，我给大家举个简单的例子。

试化带初值的线性微分方程 y''+y=0,y'(0)=1，y(0)=0 为积分方程。

看着好像连续两次积分能得到对应的积分方程。我们不妨试一试。我们第一步先积分一次，由于题设中给出了初值条件，所以能想到的是用变上限积分表示原函数，即 \begin{align} \int_0^sy''(t)\mathrm dt+\int_0^sy(t)\mathrm dt&=\int_0^s0\mathrm dt\\ \tag{1-3.1} \end{align} 代入初值整理，得到 y'(s)-1+\int_0^sy(t)\mathrm dt=0\tag{1-3.2} 这式子既含导数又含积分，这样的方程在刚才我们给出的四种方程里是没有的，所以我们只能继续积分，我们在内层积分换个字母，要不然就冲突了，即 \int_0^sy'(t)\mathrm dt-\int_0^s\mathrm dt+\color{blue}{\int_0^s\left(\int_0^uy(t)\mathrm dt\right)\mathrm du}=\int_0^s0\mathrm ds\tag{1-3.3} 我们约定积分方程中不能含有二次积分（蓝色部分），交换积分次序并继续整理化简，得 y(s)+\int_0^s(s-t)y(t)\mathrm dt=s\tag{1-3.4} 我们将这结果和（1-1.4）式对比，可以清楚地看出 (s-t) 就是已知量 K(s,t) ,这个东西以后会有名字的，称为“ 核函数 ”不是级数中的“和函数”。 y(s) 就是对应的 x(s) 。所以我们得到的式子是第二类Volterra积分方程。 这个例子表明积分方程跟微分方程是可以互相转化的 。

现在把思路逆过来重新思考一遍，就是假如我们不需要初值条件 y(0)=0 ，事实上确实也不需要（这是为什么？），且y可导，满足（1-3.4）式，那么我们对（1-3.4）式求导，也即主要对含参变限积分 \int_0^s(s-t)y(t)\mathrm dt 求导，我们有相关公式 \begin{align} \boxed{F(x)=\int_0^xG(x,t)\mathrm dt\\ \frac{\mathrm dF}{\mathrm dx}=G(x,x)+\int_0^x\frac{\partial G(x,t)}{\partial x}\mathrm dt} \end{align}\tag{1-3.5} 到这里，代入求导公式就得到了 y'(s)+\int_0^sy(t)\mathrm dt=1\tag{1-3.6} 这样我们就回到了（1-3.2）式。若再求导就回到了最初的式子，而事实上带初值的更高阶的线性微分方程也可以化为积分方程，如 \begin{cases} a_n(s)y^{(n)}(s)+a_{n-1}(s)y^{(n-1)}(s)+\dots+a_1(s)y'(s)+a_0(s)y(s)=0\\ y(s_0)=0,y'(s_0)=y'_{0},\dots,y^{(n-1)}=y^{n-1}_0 \end{cases}\tag{1-3.7}

4.回顾与习题

本节我们主要介绍了四类积分方程的定义并引入了线性算子这一概念，并利用这概念验证了四个积分方程都是线性的。然后我们考虑微分方程与积分方程的联系，最终我们得出结论“带初值的微分方程与积分方程可以互相转化”进而推广到高阶线性微分方程。

我前一阵儿说我再写文章就该留作业了，这次不能食言。我们留几个简单的习题作为练习。

1，验证 K(x)=1-x 是积分方程 \int_0^xe^{x-t}K(x)\mathrm dt=x 的解。（答案略）

2，验证 K(x)=\frac 1{\pi\sqrt x} 是积分方程 \int_0^x\frac{K(x)}{\sqrt{x-t}}\mathrm dt=1 的解。（答案略）

3，将带初值的微分方程 \begin{cases} y''(x)+y=\cos x\\ y(0)=0,y'(0)=1 \end{cases} 转化为积分方程，（答案略）

4，试用微分方程法求解积分方程 y(x)=x-\int_0^xe^{x-t}y(t)\mathrm dt ，这题目的解答将是下一节内容的引子。