Young不等式Holder不等式– 尼斯的靈魂_小百科

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這問題利用微積分的想法就可以很簡單的證明出來。如果 $a,b$ 其中一個為零，不等式顯然成立。所以我們只要討論 $a,b>0$ 的情形。兩邊同除 $a^{p}$ 則推得

如果我們令 $t=b/a^{p-1},$ 利用 $1/p+1/q=1$ 我們可以推得 $t^{q}=b^{q}/a^{p}.$ 於是原不等式可以改寫為

定義函數 $y=f(t)$ 如下:

那麼我們只需證明當 $t\geq 0$ 時， $f(t)\geq 0$ 即可。利用微分 $f'(t)=0$ 解出 $t=1$ 是 $f$ 的critical point。並且 $f''(t)=(q-1)t^{q-2}>0$ 恆正。於是 $y=f(t)$ 的極小植發生在 $t=1$ 時，也就是說， $f(1)=0$ 是極小植。利用微分的判別我們了解到，當 $0<t<1$ 時 $f'(t)<0$ ， $t>1$ 時， $f'>0$ 。因此圖型大致如下

所以你可以知道當 $t\geq 0$ 時， $f(t)\geq 0$ 。於是我們便證明了出Young不等式。

Young不等式的另外一個證明

我們把 $a$ 改寫成 $e^{\ln a}$ 。那麼Young不等式就改成

這個正好是Jensen不等式的形態。關於Jesen不等式，大家可以參考。算幾不等式與Jensen不等式。

證明:我們令 $f(x)=e^{x}$ 。 $x=p\ln a$ 且 $y=q\ln b$ 。因為 $f''(x)>0$ 所以 $f$ 是凸函數。因為 $1/p+1/q=1$ 所以

此式等價於(*)。

假設 $a_{1},\cdots,a_{n}>0$ ，且 $1/p_{1}+\cdots+1/p_{n}=1/r$ 其中 $p_{1},\cdots,p_{n},r>0$ 。我們令 $x_{i}=p_{i}\ln a_{i}$ 。為了使用Jesen 不等式，我們來計算:

所以利用Jensen不等式我們得到了

Holder不等式

假設 $(X,\mu)$ 是一個可測空間，令 $L^{p}(X,\mu)$ 表示 $p$ 次可積分的可測函數所構成的向量空間。我們令

利用上述的Young不等式我們可以證明以下結論:

命題 : (Holder不等式)假設 $p,q>0$ 且 $1/p+1/q=1.$ 並且 $f\in L^{p}(X,\mu),$ $g\in L^{q}(X,\mu)$ 則

證明:兩邊同除 $\|f\|_{p},\|g\|_{q}$ 不等式等價於證明

其中 $F(x)=|f(x)|/\|f\|_{p},$ $G(x)=\|g(x)\|/\|g\|_{q}.$ 而 $\|F\|_{p}=\|G\|_{q}=1$ 且 $F,G\geq 0.$ 利用Young不等式可知

兩邊同時積分之後可得

推論 : (離散型Holder不等式)假設 $x_{k},y_{k},$ $1\leq k\leq n,$ 為複數，且 $p,q$ 同上，則

證明:利用上面雷同的想法。假設 $x_{k},y_{j}$ 均不全為零。令

再令 $a_{k}=|x_{k}|/A$ 且 $|b_{k}|=y_{k}/B,$ $1\leq k\leq n$ 。則

利用Young不等式可以推得

上面不等式兩邊同時對 $k$ 求和得到

利用(1)與(2)與 $1/p+1/q=1$ 的性質，我們可以推得 $\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leq 1.$ 因此再把 $a_{k}=x_{k}/A$ 與 $b_{k}/B$ 代入上式可以推得

所以我們就證明了Holder不等式。

如果 $p,q,r$ 是滿足 $1/p+1/q=1/r$ 的正實數，則

於是兩邊同時對 $k$ 求和後，得到了 $\sum_{k=1}^{n}(a_{k}b_{k})^{r}\leq 1.$ 於是我們就推得

廣義Holder不等式

定理: 假設 $p_{1},\cdots,p_{n},r>0$ 且 $1/p_{1}+\cdots+1/p_{n}=1/r$ 。如果 $f_{i}\in L^{p_{1}}(X)$ 。則 $f_{1}\cdots f_{n}\in L^{r}(X)$ 並且

證明 :假設 $f_{i}$ 在 $L^{p_{i}}(X)$ 中不為零， $1\leq i\leq n$ 。定義 $F_{i}=|f_{i}|/\|f_{i}\|_{L^{p_{i}}(X)}$ 。利用(**)我們可以推得

兩邊同時對 $x$ 變數積分，我們得到

所以這不等式等價於 $\|F_{1}\cdots F_{n}\|_{L^{r}}\leq 1$ 。兩邊同乘 $\|f_{1}\|_{L^{p_{1}}}\cdots \|f_{n}\|_{L^{p_{n}}}$ ，我們得到了廣義Holder不等式。

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