我们先从二元函数
\(z=f(x,y)\)
入手，相对于一元函数，二元函数有两个自变量x,y，所以需要分别对x,y进行分析，就有所谓偏导数。
我们都知道，z对x的偏导数可以写作：
\[\frac{\partial z}{\partial x} =f_{x} (x,y)
\]
对y同理。
在一元函数中
\(y=f(x)\)
中，我们都知道，设
\(x=x(t)\)
，我们就有
\(\frac {dy}{dt}=\frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt}\)
，那么这种分解在二元函数中是否成立？我们不妨举个例子试试。设二元函数
\(z=xy\)
，我们来算算
\(\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}\)
的值。假设上面的猜想成立，显然我们有
\(\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}=1\)
。但经过一步步计算，我们发现事实上：
\[\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}=-1····(1)
\]
也即一元导函数的这种性质对二元函数不成立（不完全成立）。但是，我们又发现了下面这个式子是成立的：
\[\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial y}=1····(2)
\]
再多举一些例子，(2)式仍然成立。
所以，
\(\frac {\partial z}{\partial x}\)
就如书上所说，仅仅是个记号，代表着z对x的偏导数。那么（2）式又为什么成立呢？事实上，y对x的偏导数就是将z看作常量后y对x的导数，因此
\(\frac {\partial y}{\partial x}\)
就变成了
\(\frac{dy}{dx}\)
，就和一元函数类似了。
偏导数几何意义
如图，
\(A(x_0,y_0)\)
是曲面
\(z=f(x,y)\)
上一点，AC//YOZ平面，AB//XOZ平面，CD//Y轴，BE//X轴，且AC、AB为该曲面的切线，则
\[tan\angle ABE=f_x(x_0,y_0),tan\angle ACD=f_y(x_0,y_0)
\]
这是显然的。
我们还可以知道，AC与AB都在A对曲面的切面上（用来推导切面方程）。
一元函数的微分
我们先来看一元函数的微分是什么东西。
如图，
\(A(x,y)，C(x+\Delta x,y+\Delta y)\)
是绿色曲线
\(y=f(x)\)
上一点，AD是A对曲线的切线，D在BC上，
\(BD=dy\)
，
\(BC=\Delta y\)
。
那么f(x)在
\(x\)
处的微分为：
\[\Delta y = f^{'}(x)\Delta x + o(\Delta x)
\]
这个式子有什么含义呢？我们对两边除以
\(\Delta x\)
，有：
\[\frac {\Delta y}{\Delta x} = f^{'}(x) + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}
\]
当
\(\Delta x \to 0\)
时，由于
\(o(\Delta x)\)
是
\(\Delta x\)
的高阶无穷小，故
\(\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\)
为0，可省略，因此我们有：
\[\lim_{\Delta x \to 0}\frac {\Delta y}{\Delta x} = f^{'}(x)
\]
也即
\[dy=f^{'}(x)dx
\]
我们从图里可以看到，BD=dy，所以通俗点说，其实
可微分就是当
\(\Delta x\)
趋于0时，BD约等于BC，即可以用BD来代替BC，也即用直线AD可以对曲线段AC进行线性替换
，这也就是微分的主要思想。
而我们什么时候可以用BD来代替BC呢？根据定义式，就是
当AB无限趋于0的时候，CD长度是AB长度的一个高阶无穷小，也即CD长度在此时为0
。化成数学语言就是：
\[\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y - f^{'}(x)\Delta x}{\Delta x}=0
\]
其中分子就是CD长度，分母就是AB。
如果上述式子成立，我们就可以判定f(x)在x处可微，其等价条件就是f(x)在x处可导。
曲面上某点的切面方程
设曲面
\(z=f(x,y)\)
，
\(A(x_0,y_0)\)
是曲面上一点，则该点对曲面的切面方程为：
\[f_x(x_0,y_0)x+f_y(x_0,y_0)y-[x_0f_x(x_0,y_0)+y_0f_y(x_0,y_0)-f(x_0,y_0)]=z
\]
证明就不8写了，只要用空间解析几何知识+偏导数的几何意义即可完成推导。
二元函数的全微分
和一元函数类似，
\(A(x_0,y_0,z_0),D(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y,z_0+\Delta z)\)
是蓝色曲面
\(z=f(x,y)\)
上两点，过A的粉色平面
\(z=g(x,y)\)
是曲面切面，E是切面上一点，DF垂直于XOY平面，AF//XOY平面，
\(EF=dz,DF=\Delta z\)
先由几何关系及勾股定理，我们有：
\(AF=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\)
。
我们已经知道了A、D两点的坐标，E、F的坐标也就能够求出来了，我们只需要E、F的纵坐标。
\(z_F=z_A=z_0=f(x_0,y_0)\)
写出过A点的切面方程：
\[z=f_x(x_0,y_0)x+f_y(x_0,y_0)y-[x_0f_x(x_0,y_0)+y_0f_y(x_0,y_0)-f(x_0,y_0)]=g(x,y)
\]
则
\(z_E=g(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\)
几何参数都求出来了，下面就对其进行分析即可。
我们先看书上的定义（选自同济六版）：
可以发现，
\(\Delta z\)
就是DF，那么EF是什么呢？
\[\begin{aligned}
EF&=z_E-z_F\\
&=g(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)
&=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y
\end{aligned}
\]
若令
\(A=f_x(x_0,y_0),B=f_y(x_0,y_0)\)
，上图的（2）式就是：
\[DF=EF+o(\rho)=EF+o(AF)····(3)
\]
根据几何图像与（3）式可得：
\(o(AF)=DF-EF=DE\)
，也即DE是AF的高阶无穷小量，这就与一元函数的微分扯上关系了，用上面所说的一元函数微分去理解就可以了。
因此，讨论二元函数在点
\((x_0,y_0)\)
的可微性，就是讨论DE是不是AF的高阶无穷小，用数学语言描述就是：
\[\lim_{\Delta x \to 0 , \Delta y \to 0}\frac{\Delta z-f_x(x_0,y_0)\Delta x-f_y(x_0,y_0)\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}等于0就可微，非零就不可微。\\
其中\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)
\]
其中分子就是DE，分母是AF。
全微分，连续性，偏导数存在性，偏导数连续性的关系
分几种情况对蓝箭头进行说明：
1.函数连续与偏导存在无关：
首先。函数连续无法断定偏导存在：这是显然的，可以类比一元函数。
其次，偏导存在无法断定函数连续：偏导是只对一个变量进行分析，其他变量都当成常量不管，而连续性是对所有变量都有要求，显然没有必要关联。
2.函数连续无法断定函数可微：
显然的，类比一元函数。
3.偏导存在无法断定函数可微：
由书上定理可知，需要偏导数都存在且连续才能推出可微。
4.函数可微无法断定偏导数连续：
不是很懂，就不细说了。
