1. 公理，定义和定理

一个 命题（proposition） 就是一个陈述句。只要我们有可能提出某个问题，那么，这个问题的答案必然可以表现为命题形式。命题亦称 断言（assertion） . 我们讨论问题时会大量使用命题来作描述，这些命题有的是成立的，称为 真命题（true proposition） ；反之，有些命题不成立，称为 假命题（false proposition） 。所以，无论是真知，还是谬误，都寓于命题之中。比如说，我们通常认为命题 “水是剧毒的” 是一个假命题。但是这个命题是对于我们人类的生理学而言才假的，对于某些生物，水确实是致命毒药。也就是说，一个命题是真是假，要看该命题被放在什么样的环境下讨论的；讨论问题的环境，被称为 理论（theory） 。在理论限定的框架下讨论问题，本质上是在判断一个个命题在给定框架下的真假性，判断这一动作被称为 证明（prove） 。特别地，在汉语中，有时也会使用 “证伪” 一词，来简略表达 “证明为假” 的意思。 我们是不可能证明所有的命题的，所以任何理论必须有一个出发点，也就是一些基础命题。这些基础命题本身不可证明，而是被默认成立；它们决定了理论的样貌，理论中一切其它命题都是由这些命题根据逻辑推演得到的。这样的基础命题被称为一个理论的 公理（axiom） 。合格的公理系统中，公理之间彼此不能矛盾，比如命题 “1 是整数” 和 “1 不是整数” 不能作为同一个公理系统的两条公理。 有了公理系统以后，我们还需要明确所讨论的对象是什么。比如我用了皮亚诺公理来定义小学四则运算，那么为了讨论 “$1+1$ 等于几” 这样的问题，我首先需要明确 “1” 和 “$+$” 具体指什么。用来明确概念的命题，被称为 定义（definition） 。如果说公理系统是创建了一个宇宙的基础参数的话，那么定义就是在给这个宇宙里已经自然存在的事物进行命名，这样才能讨论这些事物。当我们说 “把……称为” 时，也是一种下定义的方式。 最后，任何一个理论的绝大部分内容都是在使用基础命题来进行推演，看哪些命题为 真 。 真命题 被称为 定理（theorem） 。有时候，根据定理作用的不同，我们也可能称其中一些为 引理（lemma） 、 推论（corollary） 等。所有定理加在一起就构成了整个理论。 不同的公理系统可能推演出相同的命题，也可能推演出彼此矛盾的命题，更可能存在一些无法判断是否成立的命题。一个公理系统中所无法判断是否成立的命题，就叫做独立于这个公理系统的命题。这就好比我在描述一个多面体，使用公理 “这个多面体有六个相同的面，且六个面彼此要么垂直要么平行”，那么就可以推演出定理 “六个面都是正方形”，但是命题 “这个多面体是蓝色的” 就是独立于所给公理的命题，无法被证明或证伪。 如果两个公理系统能够推演出完全一样的命题（定理），那么这两个公理系统就是等价的。如果公理系统 $A$ 能够推演出公理系统 $B$ 的一切定理，但是 $B$ 不能推出 $A$ 中的一切定理，即 $A$ 能推演出的一些定理实际上是独立于 $B$ 的命题，那么可以认为是公理系统 $A$ 包含了公理系统 $B$。 在阅读本段话时，请注意命题和定理的区别：定理是在给定公理体系下的真命题。 特别地， 哥德尔第一不完备性定理（Gödel's first incompleteness theorem） 说明，一切含有小学算术的公理系统中，总存在一些定理，如果它们为真，那么永远无法证明它们为真。这意味着系统里有一些真命题，但是我们没有任何能力意识到它们是真命题。由于还存在很多很难证明的命题，在一个命题被证明前，我们很难知道它究竟是假命题、可以证明的真命题，还是永远证不出来的真命题。前两类假以时日都可以通过证明得知命题的真假，但最后一类永远都会是吊人胃口的难题，因为你永远都没法知道它到底能不能被证出来。