卷积

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数学算子

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在泛函分析中，卷积、旋积或褶积(英语：Convolution)是通过两个函数 f和g生成第三个函数的一种数学运算，其本质是一种特殊的积分变换，表征函数f与g经过翻转和平移的重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分。

如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“ 滑动平均 ”的推广。

中文名: 卷积
外文名: Convolution

别名: 褶积
描述: 分析数学中一种重要的运算
其他: 可以被看作是“滑动平均”的推广

简介

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卷积（又名褶积）和反卷积（又名反褶积）是一种积分变换的数学方法，在许多方面得到了广泛应用。用卷积解决试井解释中的问题，早就取得了很好成果；而反卷积，直到最近，Schroeter、Hollaender和Gringarten等人解决了其计算方法上的稳定性问题，使反卷积方法很快引起了数学界的广泛注意。有专家认为，反卷积的应用是试井解释方法发展史上的又一次重大飞跃。他们预言，随着测试新工具和新技术的增加和应用，以及与其它专业研究成果的更紧密结合，试井在油气藏描述中的作用和重要性必将不断增大 ^[1] 。

基本内涵

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卷积是分析数学中一种重要的运算。

简单定义：设: f ( x ), g ( x )是R1上的两个可积函数，作积分：

可以证明，关于几乎所有的实数 x ，上述积分是存在的。这样，随着 x 的不同取值，这个积分就定义了一个新函数

，称为函数

与

的卷积，记为

。

容易验证，

，并且

仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。

卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。

由卷积得到的函数

一般要比

和

都光滑。特别当

为具有紧致集的光滑函数，

为局部可积时，它们的卷积

也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数

，都可以简单地构造出一列逼近于

的光滑函数列

，这种方法称为函数的光滑化或正则化。

卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。

定义

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卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。如果卷积的变量是序列

和

，则卷积的结果

其中星号*表示卷积。当时序

时，序列

是

的时序i取反的结果；时序取反使得

以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积。另外，

是使

位移的量，不同的

对应不同的卷积结果。

如果卷积的变量是函数

和

，则卷积的计算变为

其中p是积分变量，积分也是求和，t是使函数h(-p)位移的量，星号*表示卷积。 ^[2]

性质

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各种卷积算子都满足下列性质：

令

，

为任意常数或复常数，则卷积有如下性质：

性质名称	函数的卷积积分	序列的卷积和
交换律
分配律
结合律
数乘结合律
平移特性		x[k-n]*h[k-l] = y[k-(n+l)]
微分特性 (差分特性)
积分特性 (求和特性)
等效特性

其中，

，

，

另外，对于单位阶跃函数

与单位冲激函数

、

单位阶跃序列

与单位冲激序列

而言，卷积还具有下列性质：

性质名称	函数的卷积积分	序列的卷积和

延时特性
微分特性 (差分特性)
积分特性 (求和特性)		^[3]

常见函数的卷积积分

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在信号分析中，以下卷积积分的结果会比较常用：






		^[3]

其中

,

在卷积运算中，如果能运用以上结论，将大大简化积分运算，节省解题时间。

卷积定理

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卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。

其中

表示的是傅里叶变换。

这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、 Z变换、 Mellin变换和 Hartley变换（参见 Mellin inversion theorem ）等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。

利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为 n 的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做(2 n - 1)组对位乘法，其计算复杂度为；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。

群上卷积

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卷积与相关分析

若 G 是有某 m 测度的群（例如豪斯多夫空间上 Harr测度下局部紧致的拓扑群），对于 G 上 m - 勒贝格可积的实数或复数函数 f 和 g ，可定义它们的卷积：

对于这些群上定义的卷积同样可以给出诸如卷积定理等性质，但是这需要对这些群的表示理论以及调和分析的 Peter-Weyl定理。

应用

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卷积在工程和数学上都有很多应用：

统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。光学中，反射光可以用光源与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。

卷积应用 (1张)

介绍一个实际的概率学应用例子。假设需求到位时间的到达率为poisson(λ)分布，需求的大小的分布函数为D(.)，则单位时间的需求量的分布函数为 F(x)：

其中 D(k)(x)为k阶卷积。

卷积是一种线性运算,图像处理中常见的mask运算都是卷积，广泛应用于图像滤波。castlman的书对卷积讲得很详细。

高斯变换就是用高斯函数对图像进行卷积。高斯算子可以直接从离散高斯函数得到：

for (i = 0; i < N; i++) { for (j = 0; j < N; j++) { g[i * N + j] = exp(-((i - (N - 1) / 2) ^ 2 + (j - (N - 1) / 2) ^ 2)) / (2 * delta ^ 2)); sum += g[i * N + j]; }

再除以 sum 得到归一化算子

N是滤波器的大小，delta自选

首先，在提到卷积之前，必须提到卷积出现的背景。卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的，脱离这个背景单独谈卷积是没有任何意义的，除了那个所谓卷反公式上的数学意义和积分（或求和，离散情况下）。

信号与线性系统，讨论的就是信号经过一个线性系统以后发生的变化（就是输入输出和所经过的所谓系统，这三者之间的数学关系）。所谓线性系统的含义，就是，这个所谓的系统，带来的输出信号与输入信号的数学关系式之间是线性的运算关系。

因此，实际上，都是要根据我们需要待处理的信号形式，来设计所谓的系统传递函数，那么这个系统的传递函数和输入信号，在数学上的形式就是所谓的卷积关系。

卷积关系最重要的一种情况，就是在信号与线性系统或数字信号处理中的卷积定理。利用该定理，可以将时间域或空间域中的卷积运算等价为频率域的相乘运算，从而利用FFT等快速算法，实现有效的计算，节省运算代价。

C++语言代码：

void convolution(double *input1, double *input2, double *output, int mm, int nn) double *xx = new double[mm + nn - 1]; // do convolution for (int i = 0; i < mm + nn - 1; i++) xx[i] = 0.0; for (int j = 0; j < mm; j++) if (i - j >= 0 && i - j < nn) xx[i] += input1[j] * input2[i - j];

卷积

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