经典力学中的时间反演对称性

时间反演操作是个有趣的对称操作。在经典物理中，一个系统具有时间反演对称性就意味着它是一个可逆的系统。也就是说，系统从 t_1 时刻的状态到 t_2 时刻的状态的演化过程和系统从 t_2 时刻的状态到 t_1 时刻的状态的演化过程都是允许的。注意，这里的时间并不会真正反演，实际上时间反演指的是系统状态在时间上的演化顺序是可逆的。在经典物理中有趣的一个问题就是热力学系统的时间反演和可逆问题。比如说一滴墨水滴入一杯纯净水中，随着时间的推移墨水不断扩散，最后整杯水都会变黑。但是从动力学上看，这无非就是一个多体系统。如果我在某一时刻将液体中所有分子的速度反向，理论上混合物应该还原为一杯水和一滴墨水。这在力学上是可以允许的，但是实际上我们从来没见过自发的这种现象。似乎时间反演对于微观过程成立，但是对于热力学过程就不成立了！当然，现在人们认为这个问题的解答是热力学不违背时间反演对称性，我们观测不到这个现象是因为随着多体系统粒子数的增加，这种现象出现的概率会迅速减小，以至于一杯水和一滴墨水变成均匀的混合液在概率上是最概然分布。在量子力学中，时间反演对称性也有着体现。拓扑绝缘体，拓扑半金属这些火热的凝聚态概念都伴随着时间反演对称性。因此，在这篇文章里我写下对时间反演对称性的思考。

首先考虑经典物理的时间反演对称性。前面说过，时间反演指的是系统状态在时间上的演化顺序是可逆的。如图 1 所示，一个质点以运动规律 \bm{r}(t) 运动，其速度为 \bm{v}(t) 。那么时间反演过程应该是质点仍然在相同的轨迹上运动，运动规律为 \bm{r}_R(\tau) ，其速度为 \bm{v}_R(\tau) 。并且要求某 t 时刻和 \tau 时刻，满足 \bm{r}(t)=\bm{r}_R(\tau) ， \bm{v}(t)=-\bm{v}_R(\tau) 。下文中我们都用缀上下标 R 的字母所代表的力学量对应着不加下标的字母所代表的力学量的时间反演状态。那么 \bm{r}(t) 与时间反演态 \bm{r}_R(\tau) 的变换关系是什么呢？考虑到两者在空间都满足同样的轨迹方程，那么变换应该是参数之间的变换。设变换关系是 t=t(\tau) ，要求

\bm{r}(t)=\bm{r}(t(\tau))=\bm{r}_R(\tau) (1)

即正向态 t 时刻质点的位置与反演态 \tau 时刻质点的位置相同。速度的是位移对时间的导数

\begin{aligned} \bm{v}(t)&=\frac{d\bm{r}(t)}{dt}=\frac{d\bm{r}(t)}{d\tau}\frac{d\tau}{dt}=\frac{d\bm{r}_R(\tau)}{d\tau}\frac{d\tau}{dt}\\ &=\bm{v}_R(\tau)\frac{d\tau}{dt} \end{aligned} (2)

根据 \bm{v}(t)=-\bm{v}_R(\tau) 我们推得

\begin{aligned} \frac{d\tau}{dt}=-1\rightarrow{}t=-\tau+C \end{aligned} (3)

(3) 式就是我们寻求的变换关系，其中常数 C 是对时间起点约定而确定的值，不妨取为 0 。那么这个变换关系是否正确呢？需要看这个变换是否破坏牛顿运动定律的形式。我们再求加速度

\begin{aligned} \bm{a}(t)=&\frac{d\bm{v}(t)}{dt}=-\frac{d\bm{v}_R(\tau)}{dt}=-\frac{d\bm{v}_R(\tau)}{d\tau}\frac{d\tau}{dt}\\ =&\bm{a}_R(\tau) \end{aligned} (4)

可见，时间反演操作

\bm{F}(t,\bm{r},\bm{v})=m\bm{a}(t)\rightarrow\bm{F}(-\tau,\bm{r}_R,-\bm{v}_R)=m\bm{a}_R(\tau) (5)

并不破坏牛顿运动定律的形式，因此这样定义时间反演操作物理上是合理的。那么，什么情况下系统满足时间反演对称性呢？答案是 (5) 式中 \bm{F}(-\tau,\bm{r}_R,-\bm{v}_R)=\bm{F}(\tau,\bm{r}_R,\bm{v}_R) 既方程的数学形式是不变的。因为这样， \bm{r}(t) 和 \bm{r}(-t)=\bm{r}_R(\tau) 是同一个微分方程的解。由此可见，一种破坏时间反演对称性的情况是 \bm{F} 的表达式中出现 \bm{v} 的一次项，导致时间反演变换前后 \bm{F} 的表达式形式变化。我们熟悉的流体阻力 \bm{f}=c\bm{v} 正是一种比例于速度一次项的力，是一种典型的耗散力。另一种情况就是带电粒子在磁场中的运动收到洛伦兹力的作用，表达式为 \bm{f}=q\bm{v}\times\bm{B} 。如图 2 所示，它虽然不做功，但是也会破坏时间反演对称性。

这里再看另一个力学量——角动量，看看它在时间反演操作前后发生什么变化。角动量的定义为

\bm{l}(t)=\bm{r}(t)\times\bm{p}(t) (6)

在时间反演操作下 \bm{r}(t)=\bm{r}_R(\tau) ， \bm{p}(t)=-\bm{p}_R(\tau) ，于是有

\begin{aligned} \bm{l}(\tau)&=\bm{r}_R(\tau)\times[-\bm{p}_R(\tau)]=-\bm{r}_R(\tau)\times\bm{p}_R(\tau)\\ &=-\bm{l}_R(\tau) \end{aligned} (7)

可见角动量时间反演的操作下要反向。

对于经典力学的拉氏形式和哈氏形式，时间反演变换同样不破坏相应的运动方程形式。拉格朗日方程

\begin{aligned} \frac{d}{dt}\frac{\partial{}L}{\partial{}\dot{\phi}}-\frac{\partial{}L}{\partial{}\phi}=0 \end{aligned} (8)

时间反演操作 t=-\tau 下广义坐标变换为 \phi(t)=\phi_R(\tau) 。广义速度

\begin{aligned} \dot{\phi}(t)=\dot\phi_R(\tau)\frac{d\tau}{dt}=-\dot\phi_R(\tau) \end{aligned} (9)

拉氏量 L(t,\phi,\dot\phi)=L(-\tau,\phi_R,-\dot\phi_R)=L_R(\tau,\phi_R,\dot\phi_R) ，拉格朗日方程变换为

\begin{aligned} \frac{d}{dt}\frac{\partial{}L}{\partial{}\dot{\phi}}-\frac{\partial{}L}{\partial{}\phi}&= \frac{d\tau}{dt}\frac{d}{d\tau}\frac{\partial{}L_R}{\partial{}(-\dot{\phi}_R)}-\frac{\partial{}L_R}{\partial{}\phi_R}\\ &=\frac{d}{d\tau}\frac{\partial{}L_R}{\partial{}\dot{\phi}_R}-\frac{\partial{}L_R}{\partial{}\phi_R}=0 \end{aligned} (10)

时间反演变换的确不破坏拉格朗日方程的形式。同样的，对于哈密顿正则方程也是如此。广义动量

\begin{aligned} \pi=\frac{\partial{}L}{\partial\dot\phi}=-\frac{\partial{}L_R}{\partial\dot\phi_R}=-\pi_R \end{aligned} (11)

由 (10) 式可知 \dot{\pi}=\dot{\pi}_R 。哈密顿正则方程表述为

\begin{aligned} \dot\phi=\frac{\partial{}H}{\partial{}\pi},\quad\dot\pi=-\frac{\partial{}H}{\partial{}\phi} \end{aligned} (12)

哈氏量 H(t,\phi,\pi)=H(-\tau,\phi_R,-\pi_R)=H_R(\tau,\phi_R,\pi_R) ，哈密顿正则方程变换为

\begin{aligned} &\dot\phi=\frac{\partial{}H}{\partial{}\pi}=\frac{\partial{}H_R}{\partial{}(-\pi_R)}=-\dot\phi_R\rightarrow\dot\phi_R=\frac{\partial{}H_R}{\partial{}\pi_R}\\ &\dot\pi=-\frac{\partial{}H}{\partial{}\phi}=-\frac{\partial{}H_R}{\partial{}\phi_R}=\dot{\pi}_R\rightarrow\dot\pi_R=-\frac{\partial{}H_R}{\partial{}\phi_R} \end{aligned} (13)

可见时间反演变换的确不破坏哈密顿正则方程的形式。

现在，我们再来考虑一个问题，那就是时间反演对称性与系统能量守恒的关系。在以上的讨论中，我们都不否认外力 \bm{F} ，拉氏量 L 以及哈氏量 H 显含时间。但是，如果系统满足时间反演对称性了，系统是否还可以显含时间呢？根据时间反演的定义，系统满足时间反演对称性就意味着做变换

t\rightarrow-\tau+C,\quad\phi\rightarrow\phi_R,\quad\dot\phi\rightarrow-\dot\phi_R\,\text{or}\,\,\pi\rightarrow-\pi_R (14)

后系统哈密顿量的数学形式仍然是不变的。因此，我们有

H(t,\phi,\pi)\rightarrow{}H(-\tau+C,\phi_{R},-\pi_{R})=H(\tau,\phi_{R},\pi_{R}) (15)

注意 (14) 式中时间的代换中有任意常数 C ，它暗含着时间反演态可以出现在任意时刻。针对 t 的变换，利用泰勒展开，有

\begin{aligned} H(-\tau+C,\phi_{R},\pi_{R})=H(-\tau,\phi_{R},\pi_{R})- \frac{\partial{}H(-\tau,\phi_{R},\pi_{R})}{\partial\tau}C+\cdots \end{aligned} （16）

若 (15) 式成立，则要求 H(-\tau,\phi_{R},\pi_{R})=H(\tau,\phi_{R},\pi_{R}) 以及哈密顿量对时间的偏导数 \frac{\partial{}H(\tau,\phi_{R},\pi_{R})}{\partial\tau} 以及高阶偏导数均为零。这意味着系统的哈氏量不能显含时间，同时也意味着系统满足时间平移对称性

\begin{aligned} \frac{dH}{dt}&=\frac{\partial{}H}{\partial{}t}+\frac{\partial{}H}{\partial\phi}\dot\phi+\frac{\partial{}H}{\partial\pi}\dot\pi\\ &=\frac{\partial{}H}{\partial{}t}+\frac{\partial{}H}{\partial\phi}\frac{\partial{}H}{\partial\pi}-\frac{\partial{}H}{\partial\pi}\frac{\partial{}H}{\partial\phi}\\ &=\frac{\partial{}H}{\partial{}t}+[H,H]\\ &=\frac{\partial{}H}{\partial{}t}=0 \end{aligned} (17)

利用勒让德变换 L=\phi\dot\pi-H 以及广义力的定义 Q=\frac{\partial{}L}{\partial{}\phi} 可以得出拉氏量，外力均是不显含时间的。关于满足时间反演对称性的系统不能显含时间这一点，可以从物理与数学两方面来理解。从物理上看，如果系统的哈密顿量显含时间，这意味着系统与外界存在相互作用导致了能量的交换。也就是说，外界环境也是随时间变化的。而时间反演变换是为了比较系统的演化顺序，自然要求外界环境的演化顺序是不能变化的，否则变换前后系统演化顺序的对比变得没有意义了。这也是控制变量法精神的一种体现；从数学上看，我们面对的是二阶微分方程

\begin{aligned} \frac{d^2\bm{r}}{dt^2}=\bm{F}\left(t,\bm{r},\frac{d\bm{r}}{dt}\right) \end{aligned} (18)

按照时间反演对称性的要求，我们期望方程的解可以表示为

\begin{aligned} \bm{r}=\bm{r}(v),\quad{}v=\left\|\bm{v}\right\|=\left\|\frac{d\bm{r}}{dt}\right\| \end{aligned} (19)

既 速率 与位置是对应的，与时间无关。这样就满足系统演化顺序与时间是无关的。若 (18) 式不显含时间 t ，则利用

\begin{aligned} \frac{d}{dt}=\frac{dv}{dt}\frac{d}{dv},\quad{}\frac{dv}{dt}=\frac{d\sqrt{\bm{v}^2}}{dt}=\frac{\bm{v}\cdot{}\bm{F}(\bm{r},v)}{v} \end{aligned} (20)

将 (18) 式变化为

\begin{aligned} \left[\frac{\bm{v}\cdot{}\bm{F}}{v}\right]^2\frac{d^2\bm{r}}{dv^2}+\frac{1}{2}\frac{d}{dv}\left[\frac{\bm{v}\cdot{}\bm{F}}{v}\right]^2\frac{d\bm{r}}{dv}=\bm{F}(\bm{r},v) \end{aligned} (21)

可以看到，原来以参数 t 为隐变量的微分方程可以改写为以参数 v 为显变量的微分方程，它的解满足形式 (19)。但是，若 \bm{F} 中显含时间了，方程 (18) 的解就不满足 (19) 的形式了，因为 t 与 v 没有明确的依赖性形式，因此方程无法改写为以参数 v 为显变量的微分方程，它的解自然就没有确切的 \bm{r}-v 关系。

在下一篇文章中

来进一步讨论量子力学中的时间反演对称操作。