有限位势垒

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量子力学术语

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在量子力学里，有限位势垒是一种位势。在垒外，位势为 0 ，在垒内，位势为有限值。有限位势垒问题专门研讨在这种位势的作用中，一个粒子的量子行为。

中文名: 有限位势垒
外文名: Finite potential barrier

所属学科: 量子力学
相关术语: 自由粒子

绪论

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通常，在经典力学里，一维的有限位势垒问题会设定一个粒子，从位势垒的左边，往位势垒移动。假若，粒子的能量大于位势垒的位势。则这粒子，在经过位势垒的时候，因为动能的转换为势能，速度会降低，但方向不会改变。当移动至位势垒外时，速度又会回复至原本值。假若，粒子的能量小于位势垒的位势，则在与位势垒弹性碰撞之后，这粒子会改变方向，以同样的速率，往回移动。粒子绝对无法存在于位势垒内或越过位势垒。

在量子力学里，粒子的量子行为，是取决于其波函数。由于粒子没有被有限位势垒束缚，粒子的能量不是离散能量谱的特殊容许值，而是大于 0 的任意值，因此不需要求算粒子的能量。在这里，主要研究的是粒子的一维散射。这是一个很有意思的领域。假若，粒子的能量大于位势垒的位势。由于往位势垒传播的波函数，并不是完全地透射过位势垒，仍旧有一部分反射回来。所以，反射的概率幅大于 0 ，粒子被反射回来的概率大于 0 。假若，粒子的能量小于位势垒的位势，虽然波函数会呈指数地递减，在位势垒内，概率幅仍旧大于 0 。所以，这粒子存在于位势垒内的概率大于 0。不止这样，概率幅在位势垒外的另一边也大于 0 。假若，位势垒的位势并不大大的超过粒子的能量，位势垒的垒宽也并不很宽，则粒子穿越位势垒的概率会是很显著的，称这效应为量子隧穿效应。透射的可能性，称为透射系数；反射的可能性，则称为反射系数。

定义

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一维有限位势垒的垒宽为

，左边垒壁与右边垒壁的位置分别为 x=0与 x=a 。垒外位势为 0 。在垒壁，位势突然升高为

。垒内位势保持为

。这一维的位势垒将整个一维空间分为三个区域：垒左边，垒内，与垒右边。在每一个区域内，对应着不同的位势，描述粒子的量子行为的波函数也不同，标记为： ^[1]

：垒左边，x<0（垒外区域），

：垒内，0<x<a（垒内区域），

：垒右边，a<x（垒外区域）。

这些波函数，都必须满足，一维不含时间的薛定谔方程：

其中，

是约化普朗克常数， m 是粒子质量，x是粒子位置，V(x) 是位势，E是能量。

推导

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在位势垒分开的每一个区域内，位势都是常数，粒子是半自由粒子。薛定谔方程的解答可以写为往左与往右的波函数的叠加。假若，

，解答为 ^[2]

，　垒左边， x<0 (2)

，　垒内，0<x<a (3)

，　垒右边，a<x (4)

其中，

都是常数，下标r与l 分别标记波函数往右或往左的方向。波数

与能量的关系，分别为

，　垒左边与垒右边 (5)

，　垒内 (6)

从波函数在x=0与x=a的边界条件，可以求得常数。波函数与其导数必须满足连续性：

，

。

将波函数的方程 (2) 、(3) 、(4) ，代入边界条件的四个方程，则可得到

，(7)

，(8)

，(9)

。(10)

假若，粒子的能量小于位势，

，则

成为虚数，在垒内，波函数呈指数递减。

设定

（粒子从左边往位势垒移动的波函数的波幅度），

（反射幅度），

（没有粒子从右边往位势垒移动），

（透射幅度）。将这些变数的值代入方程 (7) 、(8) 、(9) 、(10) ，则可得到常数

的关系方程：

，(11)

，(12)

。(13)

将方程 (11) ， (12) 代入方程 (13) ，可求得反射幅度r：

。(14)

将方程 (11) ， (12) ， (14) 代入方程 (9) ，可求得透射幅度t：

因为模型的对称性，假若计算粒子从右边往位势垒移动的反射幅度r和透射幅度t，答案也会相同。

应用

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一维有限位势垒问题，是一个简单与抽象的理论问题。但是，它仍旧可以用来模拟许多实际的系统。例如，电导体的表面，时常会覆盖着一层薄薄的氧化物。在电导体的内部，传导电子可以自由的移动。可是，在两个电导体的界面之间，由于这一层氧化物的阻碍，使得传导电子的运动受到很大的影响。有限位势垒问题可以用来模拟传导电子从一个电导体穿越到另一个电导体的状况，因而更加了解电流经过两个电导体的物理内涵。

扫描隧道显微镜 (STM) 运作的物理原理是量子隧穿效应。在这里，位势垒是由 STM 的尖端与检验物体之间的间隔造成的。由于量子隧穿效应呈指数跟位势垒垒宽有关，这仪器可以非常灵敏地感应到，检验物体表面的高低不平的变化。

Delta 位势垒是另外一种很重要的位势垒，可以视为一种特别的有限位势垒。垒内位势为狄拉克 Delta 函数

，垒外位势为 0 的位势垒。所有在此条目导引出来的结果，都能够应用于 Delta 位势垒，只需要保持

不变，而同时取极限

。