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如何评价上交廖世俊教授提出的求解强非线性PDE的同伦分析方法?
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题主您好，我是一个应用数学和流体力学领域的科研人员，我具体一点的研究方向是流体的波动和稳定性，以及渐近、数值方法在其中的应用。下面我从我的科研经历谈一谈我个人对同伦分析方法的认识。
同论分析方法建立了一个新的求解微分方程级数解的理论，这本身有很强的创新性，而且也是一个很有趣的科学问题。它求解的一些问题比如布拉修斯边界层是很重要的经典问题，而且它有那么多的引用次数也确实证明了它的价值。但是至于它是否会被人们广泛应用于各种问题中，就要看它相对于其他方法的优点和劣势了，比如是否有助于人们对问题的理解，计算速度和成本，以及可解问题的范围。的确，目前同伦方法并没有取代传统的解析或数值方法，正如第二位答主所说，在目前世界著名科学家发表在顶尖学术期刊上的文章中，同伦分析方法确实不太多见。下面我从我的研究经历分析一下可能的原因。
同伦分析方法给出的是方程的无穷级数解。廖世俊教授认为它优于摄动方法，因为它的收敛性不受小参数的限制。我对此有不同看法。摄动方法的确需要一个小参数，然而至少在我的大方向里，摄动解很少以无穷级数解的形式出现，它更多地作为渐近解来帮助人们认识问题。渐近解（asymptotic solution）指的是在参数或变量很小或很大时得到的近似解，它一般具有简单的解析表达式，可以给出比较一般的定性结论。 在参数较小时将摄动展开到前一到两阶就足够了，不需要研究无穷阶级数的收敛性质。而这前一两阶解往往可以得到重要的定性结论，例如分岔现象中平衡态如何失稳。至于参数不是很小时，我们一般通过数值解来研究问题。所以在我们的研究中，渐近分析给出小参数下的近似的解析，而数值方法给出参数不是很小时的比较准确的数值解。两者相互补充。让摄动解作为无穷级数解的例子的确有，但至少在我的方向这并不多见，有兴趣的读者可以参考 John Hinch 教授的专著 Perturbation Methods，整本书只有最后一小部分将摄动解展开成无穷级数并讨论如何改进其收敛性，除此之外几乎都只将摄动进行到前一两阶。
那么回到同伦分析方法与摄动方法的比较，前者的确比后者收敛性更好，但如果我们不把后者作为无穷级数解而作为渐近解，那么它们就不存在收敛性好坏的比较，而是级数解和渐近解的优缺点的比较。我们看一个具体的例子，比如贝塞尔函数有级数解
J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\alpha+1)} {\left(\frac{x}{2}\right)}^{2m+\alpha}
它对任意 x 都收敛。当 x 很大时，它还有渐近解
J_\alpha(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}[\cos(x-\frac{\alpha \pi}{2}-\frac{\pi}{4})]+O\left(\frac{1}{x}\right)
我们如果想求解 J_\alpha(x) 在某个特定 x 的数值，级数解可能比较方便，这也可能是计算机给出数值解的方法。但如果我们要问 J_\alpha(x) 在 x 很大时的性质，那么渐近解应该更加有助于我们的定性理解，因为它直观的告诉我们，当 x 很大时，解是一个振幅衰减的正线或余弦函数，这是个有高度概括性的结论，而且它从级数解是不太容易看出来的。 所以我们说渐近解更有助于人们对解的定性认识，这是很重要的，因为以目前的计算机的计算能力，求解一般方程的数值解已经不是很难的问题。在得到大量数值解的同时，人们往往希望对问题有一个一般的定性认识，也就是英文中常说的 take-home message。
现在我们可以比较同伦分析方法与（渐近）摄动方法以及数值方法的优缺点了。相比于（渐近）摄动方法，同伦分析方法更准确，且不需要参数限制，但它比较复杂，不太方便告诉人们了解的定性特征。而且事实上，同伦分析方法得到的解比传统的级数解更加复杂，往往只能将完整的解答储存在计算机的符号运算程序里。 而相比于数值解，同伦分析方法因为是级数解，计算速度也许更快一些，精度更高一些（假设符号运算并不很昂贵），但目前同伦分析方法解的方程形式都还相对简单，比如通过自相似变换解得到成的ODE，以及线性部分可以分离变量或者有行波解的 PDE。以现在计算机的发展水平，数值方法解决这些问题并不困难。对数值方法有挑战的问题比如N-S方程，我还没看到有同伦方法直接去解它的文献。 这大概因为同伦处理非线性项的基本思想还是基于摄动，即把非线性项转变为高阶方程的非齐次项，但这个方法也并不是对所有非线性问题都好操作的。以目前的情况看，同伦分析方法还不能像数值方法那样广泛地解决各种实际问题。
因此我们看到同伦分析方法相对于（渐近）摄动方法以及数值方法都有一些弱点，并没有超越它们各自的优势，我想这大概就是它还未广泛应用的原因吧。如果这些地方得到提高，相信同伦分析方法会有更广泛的应用。
以上为我个人的看法，我水平有限，欢迎大家指正。
祝大家新年快乐，科研顺利。
不了解具体内容。这个方法感觉门槛挺高，但是提供几个信息参考。个人观点，这个方法水分比较大。利用同伦的思想去解决非线性问题肯定是有意义的。不论是廖还是何，虽然他们打过架，但是他们都是前几年的被高引科学家。看起来这个方法很有前景？可是你仔细看看他们那上千次的引用，虽然没有一篇篇去查，绝大部分都是中国人和中东人在引用，这一点可以说明这些文章被引情况水分比较大，入坑前要小心。另外就是，如果这真的是一个实用的好方法，为什么发的期刊一直是JCR二区三区甚至更差的期刊。即使有一些JCR一区的，也都是偏门小专业，影响因子都不过3。虽然期刊水平不代表文章水平，但是这么厉害的方法发不了top，是方法不行，还是写的不行？廖和何的中文文章大概看过一些，有时候还带点之乎者也，可能我数学水平不够，看不懂写了啥，大概意思都看不懂。楼上也说了他有做过更细致的研究，有局限性，估计是搂着说的，一般有局限性等于不太好用。
所以总的来说，应该是个很有创意的方法，廖名气很大，他也确实在这方面做出了重要的结果。但是想要入坑，或者解决实际问题，还得慎重考虑。