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为什么可观测宇宙半径径约为 450 亿光年，而宇宙年龄却只有 137 亿年？
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数学话题下的优秀答主
声明：本文内容主要来自下面这篇文章。
简要来说，之所以(可观测宇宙半径)>(光速)*(宇宙年龄)，是因为空间本身膨胀可以超光速。
注意， 本题和暴涨没有任何关系 。暴涨发生在宇宙极早期，而不是发生在现在。即使宇宙极早期没有发生过暴涨，只要宇宙持续膨胀，照样有(可观测宇宙半径)>(光速)*(宇宙年龄)。
一、为什么可以超光速？——速度的第二项
假设有一个星系，它离我们的距离（称为 固有距离 ）记为 D 。但随着宇宙不断膨胀， D 会越来越大，这时需要引入 共动距离 x 来抵消这种膨胀效应。设尺度因子是 a ，则 D=ax .
我们观测到它的视速度 v=\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}=\frac{a\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t}+\frac{x\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t}
现在我们要好好研究等号右边的两项了。第一项 \frac{a\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t} 是 局域速度 （本动速度），可理解为星系本身运动的速度， 狭义相对论要求不能超光速的就是这一项 。而第二项 \frac{x\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t} 是空间膨胀的速度，这个速度 是可以超光速的 。为了理解这一事实，想象空间中有一段路径 AB ，长度为 ct 。一束光运动时间 t 走完了这段路径，但同时宇宙在膨胀，使 AB 距离最终被拉长成 2ct 了， 看起来 这束光的速度好像是 2c （第一项和第二项各贡献了 c ）。
二、什么是可观测宇宙？
可观测宇宙的定义： 与我们有因果联系的区域 。它是一个以观测者（我们）为中心的球体空间，其半径等于引力波从宇宙诞生的那一刻传播到现在，刚好被我们接收到的距离。
从这个定义看起来，可观测宇宙的半径 r 似乎就是 ct 啊，但这么想显然只考虑了第一项的效应，忽略了 第二项：宇宙在膨胀 这一事实。引力波以光速 c 向外传播（第一项），宇宙还在膨胀（第二项），第二项的存在使得 r>ct 。回到刚才 AB 路径的例子：引力波运动了时间 t ，运动完才发现自己已经走过了 2ct 的路程。
三、更为精确的公式：宇宙年龄
这个就必须使用 \Lambda CDM 模型了。这个模型使用了以下几个基本方程：
①罗伯逊-沃尔克度规 FLRW metric
②弗里德曼方程 Friedmann equations
③状态方程 equation of state
对于本问题，我们只需要用第②个方程。写出弗里德曼方程的密度参数形式：
H=H_0 \sqrt{\Omega_{m}a^{-3}+\Omega_\Lambda}
因为 H=\frac{\mathrm{d} a}{a \mathrm{d} t} ，故 \mathrm{d} t=\frac{\mathrm{d} a}{H a}
两边积分，得 t_{0}=\int_{0}^{t_0}{\mathrm{d} t}=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} a}{H a}=\frac{1}{H_0}\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d} a}{a\sqrt{\Omega_{m}a^{-3}+\Omega_{\Lambda}}}
剩下的就是查数据了。根据2015年普朗克卫星的观测数据， H_0=67.74\ \frac{km}{s \cdot {Mpc}} ， \Omega_{m}=0.3089 , \Omega_{\Lambda}=0.6911 ,用mathematica计算可得 t_{0}\approx13.8 \ \ billion \ \ years
当然，我们可以不用那么费力去积分，已经有人解出了弗里德曼方程（在忽略辐射和曲率时）的 解析解 ：（参见wikipedia）
a(t)=(\frac{\Omega_{m}}{\Omega_{\Lambda}})^{\frac{1}{3}}sinh^{\frac{2}{3}}(\frac{3tH_{0}\sqrt{\Omega_{\Lambda}}}{2})
令 a(t)=1 ，此时解出的 t 就是宇宙的年龄。在数学上，该法和之前的方法是完全等价的。
四、更为精确的公式：可观测宇宙半径
光的局域速度（第一项） \frac{a\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t}=c ，刚才也推导过 \mathrm{d} t=\frac{\mathrm{d} a}{H a} ，因此 \mathrm{d} x=\frac{c \mathrm{d} t}{ a}=\frac{c\mathrm{d} a}{H a^2} ，两边积分， x_{0}=\int_{0}^{x_0} \mathrm{d}x=\int_{0}^1\frac{c \mathrm{d} a}{H a^2}=\frac{c}{H_{0}}\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} a}{a^2 \sqrt{\Omega_m a^{-3}+\Omega_\Lambda}} ，而现在的可观测宇宙半径 r_0 恰好就是 x_{0} （这是因为现在的尺度因子 a_0=1 ， r_{0}=a_0 x_0=x_0 ），所以积分就可以算出数值，大约就是 47\ \ billion \ \ l.y.
五、3.4倍与2.4倍
综合之前的讨论，我们发现可观测宇宙半径 r_0 确实大于光速与宇宙年龄的乘积 ct_0 ，我们现在算一下比值，大约是3.4倍。
现在我们畅想一下宇宙的未来。由于暗能量的密度参数是常数，所以暗能量越来越成为主导地位，宇宙的尺度因子将以指数膨胀。
尽管宇宙将会无限膨胀下去，但是共动距离 x 并不会无限膨胀下去，最终会趋于一个值。这意味着，我们在未来观测到的星系数量不会无限大，而是趋近于一个值。经过计算发现，在未来无限时间观测到的星系数量与当前观测的星系数量之比是2.4。读者不妨一试，如何算出2.4？
经典误解澄清：
① 本题和暴涨没有关系！
这个最开始就解释过了，希望非专业人士不要强答。
②可观测宇宙边缘膨胀速度已经超光速了，但有些人可能有误解，例如 @dawnhawk 的回答：
我用软件算了一下，刚好达到光速的地方是140亿光年，不是465亿光年。(上面这位答主所说的那个地方不是可观测宇宙半径而是 哈勃半径 )
③关于可观测宇宙 @LJD
首先，可观测宇宙半径大概就是460~470亿光年，这个可以查 维基百科 ；其次，关于38万年的事情——这个有点微妙。一般语境中的可观测宇宙(observable universe)其实是包含那38万年的，不用额外再加。更严谨的说法是用粒子视界(particle horizon)和光子视界(optical horizon)加以区分。
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隔壁的美丽的花
华东理工大学
这就有必要区分宇宙自身——大爆炸创生出的一切——和“可观测宇宙”——我们所能看到的一切。 通过对宇宙微波背景的观测，宇宙学家已经知道宇宙的年龄为137亿年。而由于光传播的速度是有限的，地球上的观测者因此只能看到在这一时间段内传播到地球上的光。 那么是不是因为我们在各个方向都能看到137亿光年远的宇宙，于是可观测宇宙的大小就是这个数值的两倍呢？
不是！！
在宇宙微波背景中我们所看到的物质是在137亿年之前发出的这些辐射，但在那以后这些物质就凝聚成了星系。由于宇宙膨胀，现在这些星系距离我们大约465亿光年。这一“距离”指的是现在这些星系和我们之间的距离，而不是它们发出光线时到我们的距离。所以，可观测宇宙的“直径”大约为930亿光年。
这一结论似乎违背了爱因斯坦的相对论，即光速是物体在空间中运动的极限速度。但是这并不适用于空间自身的膨胀。普适的速度极限在极端情况下会有个别的例外，宇宙的膨胀就是其中之一！！！
可观测的宇宙有一个边界，科学家将其称为“视界”。那么在视界外面是什么？“随着时间的流逝和宇宙的膨胀，会有越来越多的宇宙进入我们的视界，”美国空间望远镜研究所的亚当·里斯（Adam Riess）说。他说，宇宙学家认为在我们可探测视界之外的宇宙“和我们的没什么两样”。
物理宇宙学，一门尚不足百年的科学分支，在过去的几年中取得了重大的成功。这包括了精确地限定宇宙年龄以及发现宇宙加速膨胀。不过宇宙学家们从来没有说，我们目前的宇宙模型是完整的。美国劳伦斯伯克利国家实验室的索尔·珀尔马特（Saul Perlmutter）将大爆炸模型称为是“一个有效的假说……一个取得惊人成功的初稿。”
下一代的探测器和实验——无论是地球上的，例如大型强子对撞机，还是空间中的，例如WMAP的后继者“普朗克”——将会使得科学家能有机会来检验我们目前对宇宙的认识。
详细的在这边 http:// bolide.lamost.org/artic les/article204.htm
最近在看一个纪录片，推荐给你们，名字是 《优雅的宇宙》学到很多，是讲弦理论的。