命题逻辑公理系统浅谈- _Famiglistimo

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从数学发展看，

数学发展第一阶段：无理数的发现与欧几里德的《几何原本》（用抽象的方法定义一些几何对象，然后用公设和公理推出其他的几何对象）

数学发展的第二阶段：微积分以及贝克莱对无穷小 $\Delta x$ 的怀疑；柯西的 $\varepsilon-\delta$ 极限定义；对数学思维基础的讨论导致了符号逻辑-数理逻辑的产生和发展;对数学基础的讨论导致了康托的集合论的产生。

其中，集合论公理化运动假定数学运用的逻辑本身没有问题，而罗素（逻辑主义）、布劳威尔（直觉主义）、希尔伯特（形式主义）等人对于这一前提提出不同观点。

罗素《数学原理》为现代数理逻辑贡献巨大。

数学发展的第三阶段：罗素悖论说明了集合论在逻辑上也是矛盾的。数学的基础受到新的怀疑。

（以上是对数学公理化运动的过程简述）

公理系统形成规则

命题符号是公式

若 $\alpha$ 是公式，则 $\neg\alpha$ 是公式

若 $\alpha$ 和 $\beta$ 是公式，则 $\alpha\vee\beta$ 是公式

公式仅限于此

$D1.\alpha\wedge\beta$ 定义为 $\neg\left(\neg\alpha\vee\neg\beta\right)$

$D2.\alpha\to\beta$ 定义为 $\neg\alpha\vee\beta$ （即“如果A，那么B”）

$D3.\alpha\leftrightarrow\beta$ 定义为 $\left(\alpha\to\beta\right)\wedge\left(\beta\to\alpha\right)$

其中 $D2$ 有一点需要注意：

若 $\alpha\to\beta$ 真且 $\alpha$ 真，则 $\beta$ 真

若 $\alpha\to\beta$ 真且 $\beta$ 假，则 $\alpha$ 假

（上述定义的目的是简化公式表达，也可将 $\wedge\to\leftrightarrow$ 作为初始符号，并增加相应形成规则

其中 $P,Q,R$ 可为任意公式

$A1.\vdash(P\vee P)\rightarrow P$

$A2.\vdash P\to\left(P\vee Q\right)$

$A3.\vdash\left(P\vee Q\right)\to\left(Q\vee P\right)$

$A4.\vdash\left(Q\to R\right)\to\left(\left(P\vee Q\right)\to\left(P\vee R\right)\right)$

$R1.$ 代入规则：若 $\vdash\alpha$ ，则 $\vdash\alpha[p/\beta].$ （将公式 $\alpha$ 中某符号 $p$ 处处代以公式 $\beta$ ，称为代入，结果记作 $\alpha[p/\beta].$ ）

$R2.$ 分离规则：若 $\vdash\alpha,\vdash\alpha\to\beta$ ，则 $\vdash\beta$

$R3$ .置换规则：定义的左右方可互相替换.设对公式 $\alpha$ 施以置换后得到公式 $\beta$ 。若 $\vdash\alpha$ ,则 $\vdash\beta.$

$T1.\vdash P\to P$ （同一律）

$T2.\vdash P\to(Q\to P)$

$T3.若\vdash (P\to Q)且\vdash(Q\to R),则 \vdash P\to R$ （传递律）

$T4.\vdash\left(Q\to R\right)\to((P\to Q)\to(P\to R))$ （传递律）

$T5.\vdash(P\to(Q\to R))\to((P\to Q)\to(P\to R))$

$T6.\vdash P\to(\neg P\to Q)$

$T7.\vdash \neg P\to(P\to Q)$

设有公式序列 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\dots,\alpha_n$ 如果对于每个 $\alpha_i (i\in [1,n])$ 都有：

或是公理之一

或者是由前面的一个或两个 $\alpha_h$ 和 $\alpha_h(h,k <i)$ 实施推理规则而得

则，称此公式序列是定理 $\alpha_n$ 的一个证明

按上述证明方法举例证明：

$T1：\vdash P\to P$

名同一律，证明：

\[\begin{align*} &P\to(P\vee Q) \tag{1}\\ &P\to(P\vee P) \tag{2}\\ &(P\vee P)\to P \tag{3}\\ &(Q\to R)\to((P\to Q)\to(P\to R)) \tag{4}\\ &((P\vee P)\to P)\to((P\to(P\vee P))\to(P\to P)) \tag{5}\\ &(P\to(P\vee P))\to(P\to P) \tag{6}\\ &P\to P \tag{7}\\ \end{align*} \]

其中， $(1)$ 由 $\vdash P$ 通过公理 $A2$ 得到

$(2)$ 是由 $(1)$ 通过推理规则 $R1$ ，代入 $[Q/P]$ 得到

$(3)$ 是由 $(2)$ 通过公理 $A1$ 得到

$(4)$ 是 $T4$ 的结论，具体的证明见下

$(5)$ 是由 $(4)$ 通过推理规则 $R1$ ，代入 $[Q/P\vee P,R/P]$ 得到

$(6)$ 是由 $(3)(5)$ ，通过推理规则 $R2$ 分离得到

$(7)$ 是由 $(2)(6)$ ，通过推理规则 $R2$ 分离得到

$T4$ ： $\vdash\left(Q\to R\right)\to((P\to Q)\to(P\to R))$

这条定理也被称为传递律，证明：

\[\begin{align*} &\vdash(Q\to R)\to((P\vee Q)\to(P\vee R)) \tag{1}\\ &\vdash(Q\to R)\to((\neg P\vee Q)\to(\neg P\vee R)) \tag{2}\\ &\vdash(Q\to R)\to((P\to Q)\to(P\to R)) \tag{3}\\ \end{align*} \]

其中， $(1)$ 是由 $\vdash(Q\to R)$ 通过公理 $A4$ 得到

$(2)$ 是由 $(1)$ 通过推理规则 $R1$ ，代入 $[P/\neg P]$ 得到

最后 $(3)$ 是直接通过定义 $D2$ ，遂原命题得证

公理系统性质

协调性(相容性,一致性,不矛盾性)：即推出的定理都是真的，或 $\alpha$ 和 $\neg\alpha$ 不都是定理.

完全性（完备性）： $\forall$ 定理均能在系统中推出

独立性：公理 $\alpha$ 不能被其他公理推出，即不能有冗余的公理

https://www.docin.com/p-1307002680.html

https://wenku.baidu.com/view/e2184478876fb84ae45c3b3567ec102de2bddf8c.html

https://wenku.baidu.com/view/6331566e561252d380eb6ed8.html

[^ 2]: 句法后承（ $\vdash$ ）：连接一个命题集合和一个命题，如 $\Sigma\vdash\phi$ ，表示的是 $\phi$ 可以通过 句法证明 的方式从 $\Sigma$ 中得出。以 Hilbert style 的证明为例，这即是说，存在一个命题序列，使得每个前提要么是公理，要么是 $\Sigma $ 中的命题，而这个命题序列的最后一项是 $\phi $。

公理系统形成规则

\(T1：\vdash P\to P\)

\(T4\) ： \(\vdash\left(Q\to R\right)\to((P\to Q)\to(P\to R))\)

公理系统性质