【高中数学】如何用计算器解超越方程？
引言：这篇文章我写于2015年10月30日，应该是高二的时候。就想和大家分享一些计算器的使用技巧。这次重新编辑传到知乎。希望对大家有所帮助。
这篇文章想和大家分享一下如何用卡西欧计算器991解一个超越方程（Transcendental Equation） 4^x-x=3 。
我们先来看下百度百科的定义：
超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程。超越方程的求解无法利用代数几何来进行。大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解。
当然我们老师给出过一个更为直观的定义：
所谓超越方程，就是超越你能力范围的方程。
原题是这样的，已知 4^x-x=3 的一个根是1，求另外一个根的近似值。
拿到这个方程，就算题目不告诉我们该方程有一根为1，其实大家也是能够看出来的。所以，对于一些简单的超越方程， 首先我们可以猜解 。例如，sinx+x=0，我们可得显然x=0的时候是成立的。当然，大家更普遍的反应，是使用计算器。
在揿计算器之前，首先对原方程做一些简单的移项变形。可以得到两个等价的方程，后面会有用。
4^x=x+3 ①
4^x-x-3=0 ②
通过①式的变形，我们就把原来那个作图相对麻烦的函数，简化成了左边是指数函数，右边是一次函数，这样一个比较简单的形式。
这时候作图可得，这两个函数有两个交点，即原方程有两个根。而且我们可以清楚地看到，另外一个根必然是负的。
对函数图像的研究，有助于我们更快地得到方程的解。而且图像法在求超越方程近似解中非常重要。
要注意的是，交点并不是-3，而且实际画图过程中也做不到那么精确。不过在此，我只是把图像作为求得最后近似解的一个跳板。
至此，原问题变成了：已知 4^x-x=3 的一个根是1，求另外一个负根的值。
这就引出了我由这道题目而想到的三种使用计算器的方法：前两种都是牛顿法的一些小技巧，最后一种是函数零点法。前两种只适用于991及中文版，最后一种适用于所有型号的函数计算器。我将用991中文版作一些简单的示范。
插一个我以前的回答，有助于你们更好地理解下面的内容：
方法一：限定解的范围
如果我们直接用牛顿法，也就是991直接解方程的模式，我们非常有可能得到一个很显然，而且显然是我们不需要的答案：x=1。
顺便我解释一下L-R是什么意思。L就是Left，R就是Right，有些左右逼近的意思。通常情况下我们看到都是L-R=0，简单来说，意为这是一个精确值，如果不为0，就说明x和实际值存在误差。
那怎么样才能做到让计算器 强行反馈 给我们一个小于0的解呢？我们可以这样想，有什么值是一定非正的。比如 -x^2 。于是可以把原方程稍作修改，即把x全部替换成 -x^2 。
很快可以得到一个x的值，有些细微的误差不用管它。由于做了简单的替换，这并不是我们想要的最终答案。最终答案是 -x^2 。
所以我们得到原方程小于0的根是-2.984。借助函数值域限定解的范围，间接地告诉计算器我们想要的答案是什么，从而得到了我们想要的解。
方法二：设定接近的初始值
上面我们说过，使用牛顿法直接解很有可能得到一个显然的x=1。但是有没有可能直接得到我们想要的-2.984呢？答案是肯定的。举个极端例子：如果我们事先把-2.984赋予x，那么这时候还可能出来1这个答案么。
当然不可能了。
对牛顿法稍有了解的朋友就知道，为什么我们一开始会得到x=1的解，而现在我们可以得到-2.984。牛顿法的结果和初始的位置有很大的关系，通常它只能得到一个离自己比较近的结果。
在没有被赋值的情况下，x默认为0，1相比-2.984更加接近于0。所以我们得到的解是x=1。如果我们赋值-2甚至是-100，因为它们离-2.984更近，所以得到的解就会是x=-2.984。
我们不妨做一个有趣的尝试。我们知道0x=0的解集是x∈R。那如果是计算器会给出怎么样的结果呢？
对，计算器会给出任何值，而且这个值就是你自己赋予他的。你可以理解为你刚开始给计算器一个起点，他就跑到了终点，并给出你一个反馈。
根据牛顿法“离谁进就取谁”的特点，我们可以在不知道的情况下，假设x=-3，因为-2.984更为接近，所以会先得到这个答案，通常这样是比较合理的。
至于如何赋值，我们也有三种方法：
1.按完Shift+Solve之后，计算器会让你赋值
2.按完数字之后按STO(RAGE)
3.最傻的方法，解一下x=-3这个方程
最后插一句，不要认为赋值是一个很鸡肋的功能。当你面临着一个反复要用到黄金分割比 \frac{\sqrt{5}-1}{2} 的多项式，你就会明白它的作用。赋值可以使结果更精准，打起来也更快。
方法三：零点法
虽然耗时耗力，但是零点法比起上述两种奇技淫巧，来得更为基础和普适。而且只要它是个方程，不管方程有多超越，计算器版本有多低，一定可以通过零点法求出个近似解。当然我觉得，零点法不用我说，你们应该都会，只是借这道题目谈一下我的看法。
有一点我们必须认识到，一切方程的根，反映到图像上，最终都是它对应的函数的零点。这时候就用到了②式： 4^x-x-3=0
选择函数/表格/table模式，把4^x-x-3输进去。
下一步是关键，自变量取什么样的值直接关系到能否快速准确地得到答案。我的习惯是，一般先取-10，10，步长为1。你会发觉1的时候，等于0。毫无疑问x=1是一个根。
但是并不是每次都这么运气好。你可能得到下图：
在-3到-2的时候，正负号发生了变化。那说明，一个解在-3到-2之间。其实也就是零点定理：如果 f(a)·f(b)<0 ，那么[a,b]这个区间里是至少有一个零点的。
接下来继续缩小范围，要把步长缩小十倍。
可以得到-3到-2.9之间发生了符号的改变。之后以此类推得到更逼近的解。
要注意两点：
1. 取值要多但避免溢出。 991中文版是30个，以前的版本是20个。按规律取值可以避免数值数量溢出。
2. 整理后再使用零点法 。如果直接按照原方程。把函数看作4^x-x，然后去寻找靠近3的值虽然可行，但是没有正负变号来得直观，找零点的速度也就慢了。
以上，就是由这个方程衍生出的一些计算器使用小技巧，希望能对好好看过的各位有所帮助。计算器是天使和魔鬼，归根到底取决于你怎么用它。
