分形理论

分维 ，又称分形维或 分数维 ，作为分形的定量表征和基本参数，是分形理论的又一重要原则。长期以来人们习惯于将点定义为零维，直线为一维，平面为二维，空间为三维， 爱因斯坦 在 相对论 中引入 时间维 ，就形成 四维时空 。对某一问题给予多方面的考虑，可建立 高维空间 ，但都是整数维。在数学上，把 欧氏空间 的几何对象连续地拉伸、压缩、扭曲， 维数 也不变，这就是 拓扑维数 。然而，这种传统的维数观受到了挑战。曼德布罗特曾描述过一个绳球的维数：从很远的距离观察这个绳球，可看作一点( 零维 )；从较近的距离观察，它充满了一个球形空间(三维)；再近一些，就看到了绳子(一维)；再向微观深入，绳子又变成了三维的柱，三维的柱又可分解成一维的纤维。那么，介于这些观察点之间的 中间状态 又如何呢？

显然，并没有绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。数学家豪斯道夫(Hausdorff)在1919年提出了 连续空间 的概念，也就是 空间维数 是可以连续变化的，它可以是 自然数 ，也可以是 正有理数 或正无理数，称为豪斯道夫维数。记作Df，一般的 表达式 为：K=L^Df，也作K=(1/L)^(-Df)，取 自然对数 并整理得Df=lnK/lnL，其中L为某客体沿其每个独立方向皆扩大的倍数，K为得到的新客体是原客体的倍数。Df在一般情况下不一定是自然数。因此，曼德布罗特也把分形定义为豪斯道夫维数大于或等于拓扑维数的集合。英国的海岸线为什么测不准？因为欧氏一维测度与海岸线的 维数 不一致。根据曼德布罗特的计算，英国海岸线的维数为1.26。有了分维，海岸线的长度就确定了。